欧拉函数

Posted 2020-10-06 不可爱的小可爱

定义：对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。

1、通式：     

        其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

        φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。

        注意：每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

        若n是质数p的k次幂，

         

        因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

        设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。

 

2、欧拉函数是积性函数——若m,n互质， 

3、当n为奇数时，，

      若n为质数则  ， 对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1。

 4、欧拉函数和它本身不同质因数的关系：

      欧拉函数ψ（N）=N{∏p|N}（1－1/p） ，

      

      亦即:

       

（P是数N的质因数）

如：

ψ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4；

ψ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8；

5、除了N=2,φ(N)都是偶数。

6、设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N)。

 

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<stdlib.h>
 3 int eular(int n)
 4 {
 5     int ret=1,i;
 6     for(i=2;i*i<=n;i++)
 7     {
 8         if(n%i==0)
 9         {
10             n/=i,ret*=i-1;
11             while(n%i==0) n/=i,ret*=i;
12         }
13     }
14     if(n>1) ret*=n-1;
15     return ret;
16 }
17 int main ()
18 {
19       int n,s;
20       scanf("%d",&n);
21       s=eular(n);
22       printf("%d",s);
23       return 0;
24 }

直接求解欧拉函数 o（n）

    它在O(N)的时间内遍历了所有的数,并且有很多的附加信息，

    那么我们是不是能在筛素数的同时求出所有数的欧拉函数呢？

    答案是可以。

    φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有素因子。
    比如：φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4。
   利用这个就比较好求了，可以用类似求素数的筛法。
   先筛出N以内的所有素数，再以素数筛每个数的φ值。
   比如求10以内所有数的φ值：
   设一数组phi[11]，赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10；
   然后从2开始循环，把2的倍数的φ值*(1-1/2)，则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,phi[6]=6*1/2=3....；
   再是3，3的倍数的φ值*(1-1/3)，则phi[3]=3*2/3=2,phi[6]=3*2/3=2，phi[9]=.....；
   再5，再7...因为对每个素数都进行如此操作，因此任何一个n都得到了φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的运算
   觉得这个“筛”还是比较好用的，以前求数的所有因子之和也是用的它。【转】
 

1 <span style="font-size:18px;"><span style="font-size:18px;">void Init(){     
2      euler[1]=1;    
3      for(int i=2;i<Max;i++)    
4        euler[i]=i;    
5      for(int i=2;i<Max;i++)    
6         if(euler[i]==i)    
7            for(int j=i;j<Max;j+=i)    
8               euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出     
9 }  </span></span>  

筛法求欧拉函数

 

 

√ 欧拉定理

若a,n是正整数，且a,n互质，则有a^ φ(n) mod n =1。

实际上这是费马小定理的一个推广。

我们看费马小定理：a^(p-1) % p =1，而对于欧拉函数φ(n)，当n为素数时，根据其实际意义，显然φ(n)=n-1，带入欧拉定理的式子，其实就得到了费马小定理。