P1850 换教室

Posted 2020-10-06 橘生淮南终洛枳

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了P1850 换教室相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

P1850 换教室

题目描述

对于刚上大学的牛牛来说，他面临的第一个问题是如何根据实际情况申请合适的课程。

在可以选择的课程中，有 $\leq i \leq n1≤i≤n）个时间段上，两节内容相同的课程同时在不同的地点进行，其中，牛牛预先被安排在教室 c_ic?i?? 上课，而另一节课程在教室 d_id?i?? 进行。$

在不提交任何申请的情况下，学生们需要按时间段的顺序依次完成所有的 $d_id?i?? 上课，否则仍然在教室 c_ic?i?? 上课。$

由于更换教室的需求太多，申请不一定能获得通过。通过计算，牛牛发现申请更换第 $k_ik?i??，并且对于不同课程的申请，被通过的概率是互相独立的。$

学校规定，所有的申请只能在学期开始前一次性提交，并且每个人只能选择至多

因为不同的课程可能会被安排在不同的教室进行，所以牛牛需要利用课间时间从一间教室赶到另一间教室。

牛牛所在的大学有 $\leq i \leq n-11≤i≤n−1）节课结束后，牛牛就会从这节课的教室出发，选择一条耗费体力最少的路径前往下一节课的教室。$

现在牛牛想知道，申请哪几门课程可以使他因在教室间移动耗费的体力值的总和的期望值最小，请你帮他求出这个最小值。

输入输出格式

输入格式：

第一行四个整数

第二行 $\leq i \leq n1≤i≤n）个正整数表示 c_ic?i??，即第 ii 个时间段牛牛被安排上课的教室；保证 1 \le c_i \le v1≤c?i??≤v。$

第三行 $\leq i \leq n1≤i≤n）个正整数表示 d_id?i??，即第 ii 个时间段另一间上同样课程的教室；保证 1 \le d_i \le v1≤d?i??≤v。$

第四行 $\leq i \leq n1≤i≤n）个实数表示 k_ik?i??，即牛牛申请在第 ii 个时间段更换教室获得通过的概率。保证 0 \le k_i \le 10≤k?i??≤1。$

接下来 $a_j, b_j, w_ja?j??,b?j??,w?j??，表示有一条双向道路连接教室 a_j, b_ja?j??,b?j??，通过这条道路需要耗费的体力值是 w_jw?j??；保证 1 \le a_j, b_j \le v1≤a?j??,b?j??≤v， 1 \le w_j \le 1001≤w?j??≤100。$

保证 $\leq n \leq 20001≤n≤2000，0 \leq m \leq 20000≤m≤2000，1 \leq v \leq 3001≤v≤300，0 \leq e \leq 900000≤e≤90000。$

保证通过学校里的道路，从任何一间教室出发，都能到达其他所有的教室。

保证输入的实数最多包含

输出格式：

输出一行，包含一个实数，四舍五入精确到小数点后恰好

测试数据保证四舍五入后的答案和准确答案的差的绝对值不大于 $\times 10^{-3}4×10?−3??。（如果你不知道什么是浮点误差，这段话可以理解为：对于大多数的算法，你可以正常地使用浮点数类型而不用对它进行特殊的处理）$

输入输出样例

输入样例#1：

3 2 3 3
2 1 2
1 2 1
0.8 0.2 0.5 
1 2 5
1 3 3
2 3 1

输出样例#1：

2.80

说明

【样例1说明】

所有可行的申请方案和期望收益如下表:

技术分享

【提示】

道路中可能会有多条双向道路连接相同的两间教室。也有可能有道路两端连接

的是同一间教室。

2.请注意区分n,m,v,e的意义, n不是教室的数量, m不是道路的数量。

技术分享

特殊性质1:图上任意两点 ai, bi, ai≠ bi间,存在一条耗费体力最少的路径只包含一条道路。

特殊性质2:对于所有的1≤ i≤ n， ki= 1 。

483 055 310

题解

一道最短路+dp
首先对整个地图做一遍floyd，预处理出每两点之间的最短距离，然后设f[i][j][0/1]表示上了i节课，提出了j个申请，第i节课是否申请时的最少的体力值的期望。
例如 f[5][3][1]表示上了5节课，提出了3次申请，第五节课申请换教室
那么，状态是如何转移的呢？
伪代码（a为不换教室的教室编号，b为换的教室编号）：

伪代码：

if(第i节课不申请){
    if(第i-1节课申请){
        if(申请失败){
            f[i][j][0]=f[i-1][j][1]+d[a[i]][a[i-1]]*(1.0-c[i-1]);
            /*上一个原教室到当前原教室的距离*失败的几率*/
        }else{
            f[i][j][0]=f[i-1][j][1]+d[a[i]][b[i-1]]*c[i-1];
            /*上一个更换的教室到当前原教室的距离*成功的几率*/
    }else{
        f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+d[a[i]][a[i-1]];
        /*上一个原教室到当前原教室的距离*/
    }
}else{
    if(第i节课申请成功){
        if(第i-1节课申请){
            if(第i-1节课申请成功){
                f[i][j][1]=f[i-1][j-1][1]+d[b[i]][b[i-1]]*c[i]*c[i-1];
                /*上一个更换的教室到当前更换的教室的距离*都成功的几率*/
            }else{
                f[i][j][1]=f[i-1][j-1][1]+d[b[i]][a[i-1]]*c[i]*(1-c[i-1]);
                /*上一个原教室到当前更换的教室的距离*上一个失败，当前成功的几率*/
            }
        }else{
            f[i][j][1]=f[i-1][j-1][0]+d[b[i]][a[i-1]]*c[i];
            /*上一个原教室到当前更换的教室的距离*当前成功的几率*/
        }
    }else{
        if(第i-1节课申请){
            if(第i-1节课申请成功){
                f[i][j][1]=f[i-1][j-1][1]+d[a[i]][b[i-1]]*(1-c[i])*c[i-1];
                /*上一个原教室到当前更换的教室的距离*上一个成功，当前失败*/
            }else{
                f[i][j][1]=f[i-1][j-1][1]+d[a[i]][a[i-1]]*(1-c[i])*(1-c[i-1]);
                /*上一个原教室到当前更换的教室的距离*都失败的几率*/
            }
        }else{
            f[i][j][1]=f[i-1][j-1][0]+d[a[i]][a[i-1]]*(1-c[i]);
            /*上一个原教室到当前更换的教室的距离*当前失败的几率*/
        }
    }
}

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int M = 2010;
int n,m,v,e,g;
int c[M],d[M],a,b;
double k[M],f[M][M][3],map[M][M],w;

int main() {
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&e);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&c[i]);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&d[i]);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%lf",&k[i]);
    for(int i=1; i<=v; i++) 
        for(int j=1; j<=v; j++) 
            map[i][j]=199999999.0;
    for(int i=1; i<=e; i++) {
        scanf("%d%d%lf",&a,&b,&w);
        if(map[a][b]>w) {
            map[a][b]=w;
            map[b][a]=w;
        }
        map[a][a]=0;
        map[b][b]=0;
    }
    for(int q=1; q<=v; q++)
       for(int i=1; i<=v; i++)
          for(int j=1; j<=v; j++)
              if(i!=j && j!=q && i!=q && map[i][q]+map[q][j]<map[i][j])
              map[i][j]=map[j][i]=map[i][q]+map[q][j];
    for(int i=0; i<=n; i++)
        for(int j=0; j<=m; j++)
            f[i][j][0]=f[i][j][1]=199999999.0;
    f[1][0][0]=f[1][1][1]=0;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        g=min(i,m);
        f[i][0][0]=f[i-1][0][0]+map[c[i-1]][c[i]];
        for(int j=1; j<=g; j++) {
            f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+map[c[i-1]][c[i]],f[i-1][j][1]+map[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]+map[c[i-1]][c[i]]*(1.0-k[i-1]));
            f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][0]+map[c[i-1]][d[i]]*k[i]+map[c[i-1]][c[i]]*(1.0-k[i]),f[i-1][j-1][1]+map[d[i-1]][d[i]]*k[i-1]*k[i]+map[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1.0-k[i])+map[c[i-1]][d[i]]*(1.0-k[i-1])*k[i]+map[c[i-1]][c[i]]*(1.0-k[i-1])*(1.0-k[i]));
        }
    }
    double ans=2e8;
    for(int i=0; i<=m; i++)
        ans=min(min(ans,f[n][i][0]),f[n][i][1]);
    printf("%.2lf",ans);
    return 0;
}