DP入门——线性结构上的动态规划

Posted 2020-10-06 GGBeng

一、最长上升子序列（LIS）

　　给定n个整数A1,A2,…,An，按从左到右的顺序选出尽量多的整数，组成一个上升子序列（子序列可以理解为：删除0个或多个数，其他数的顺序不变）。例如序列1,6,2,3,7,5，可以选出上升子序列1,2,3,5，也可以选出1,6,7，但前者更长。选出的上升子序列中相邻元素不能相等。

　　分析：设d（i）为以i结尾的最长上升子序列的长度，则d(i)= max{0,d(j)|j<i,Aj<Ai}+1，最终答案是max{d(i)}。如果LIS中的相邻元素可以相等，把<改成<=即可。上述算法的时间复杂度为O(n2)。《算法竞赛入门经典》中介绍了一种方法把它优化到O(nlogn)，可以去阅读。

二、最长公共子序列问题（LCS）

　　给两个子序列A和B，A为abcbdab，B为bdcaba。求长度最长的公共子序列。例如1,5,2,6,8,7和2,3,5,6,9,8,4的最长公共子序列为5,6,8（另一个解是2,6,8）。

　　分析：设d（i , j）为A1,A2,…,Ai和B1,B2,…,Bj的LCS长度，则当A[i]=A[j]时d（i , j）= d（i-1, j-1）+1，否则d（i , j）= max{d（i-1, j）,d（i , j-1）}，时间复杂度为O（nm），其中n和m分别是序列A和B的长度。