9.5 考试 第一题 礼物题解

Posted 2020-10-06

问题 A: 礼物

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题目描述

夏川的生日就要到了。作为夏川形式上的男朋友，季堂打算给夏川买一些生 日礼物。

商店里一共有种礼物。夏川每得到一种礼物，就会获得相应喜悦值Wi（每种 礼物的喜悦值不能重复获得）。

 每次，店员会按照一定的概率Pi（或者不拿出礼物），将第i种礼物拿出来。 季堂每次都会将店员拿出来的礼物买下来。没有拿出来视为什么都没有买到，也 算一次购买。

 众所周知，白毛切开都是黑的。所以季堂希望最后夏川的喜悦值尽可能地高。 

求夏川最后最大的喜悦值是多少，并求出使夏川得到这个喜悦值，季堂的期 望购买次数。

输入

第一行，一个整数N，表示有N种礼物。

接下来N行，每行一个实数Pi和正整数Wi，表示第i种礼物被拿出来的概率和 可以获得喜悦值。

输出

第一行，一个整数表示可以获得的最大喜悦值。

 第二行，一个实数表示获得这个喜悦值的期望购买次数，保留3位小数。

样例输入

3
0.1 2
0.2 5
0.3 7

样例输出

14
12.167

提示

对于10%的数据，N = 1
对于30%的数据，N ≤ 5
对于100%的数据，N ≤ 20 ，0 < Wi ≤ 10^9 ，0 < Pi ≤ 1且∑Pi ≤ 1

 注意：本题不设spj

　　这道题基本两眼看出状压+概率DP然后就默默地推了大半天的转移方程也没推出来（好尴尬……）最后拿暴力默默地过了送分的第一个点。

　　其实这道题本质和 绿豆蛙的归宿 类似，都是求到达终点的步数（次数），我们大可通过状压搞一下他的每个状态，然后从所有物品都卖到的情况相回推那么转移方程就出来了

　f[i]=Σp[k]*f[j](j为比i多买一件物品的状态,k就是多买的那件物品)+(1-∑p[k])（自己转移回自己的概率）*f[i]+1

　很奇怪是吧，转移方程的右侧也出现了自身，我们只要把它稍微化简一下就可以了。

　f[i]=(Σp[k]*f[j]+1)/(Σp[k])

　然后就从最后向前推，答案就是f[0]。

　　

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cmath>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<queue>
 8 #define N 25
 9 using namespace std;
10 int n,va[N];
11 double p[N],f[1<<20];
12 long long sum;
13 int main()
14 {
15     scanf("%d",&n);
16     for(int i=1;i<=n;i++)
17     {
18         scanf("%lf%d",&p[i],&va[i]);
19         p[0]+=p[i];
20         sum+=va[i];
21     }
22     printf("%lld\n",sum);
23     for(int i=(1<<n)-2;i>=0;i--)
24     {
25         double sm=0.0;
26         for(int j=0;j<n;j++)
27         {
28             if(!((1<<j)&i))
29             {
30                 f[i]+=p[j+1]*f[i|(1<<j)];
31                 sm+=p[j+1];
32             }
33         }
34         f[i]++;
35         f[i]/=sm;
36     }
37     printf("%.3lf\n",f[0]);
38     return 0;
39 }

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