求最短路径的条数

Posted 2020-10-06 Wayne Zhu

最近看到了这么一道题，觉得很有意思，所以就来给大家分享一下：

对于下面这个图形： 每个正方形的边长为1， 那么从A到Z的最短路径条数有多少？

这道题的解法有下面的两种。 

第一种（规律）： 

    首先，我们可以肯定的是：最短路径为6.

　考虑将这个矩形补全，那么从A到Z，需要做的就是从左往右走四步，从上往下走两步。这个是刚好可以满足条件的。  我们只需要从这6步中选出两步是朝下的即可，那么剩下的4步朝右的也就随之确定了。 所以，C(2, 6)，但是这里并不是完整的，而缺少的那两个朝下的，可以发现， 刚好每个对应着一个路径，所以最终就是 C(2, 6) - 2。

 

第二种（动态规划）：

　　我这里粗略的画了一下：

      

     即根据图形特点建立坐标轴，我们设 d[x, y] 为从A点出发到(x, y)左边处时，最短需要走的步数。

　 显然，到(1, 0)为1， 到(2, 0)为2， 到(3, 0)为3。 到(0, 1)为1， 到(1, 1)为2,即我们可以先向右走，然后再向下走；也可以先向下走，然后再向右走，就是这两种，如下：

    

     其实，我们根据规律就可以得到下面的状态转移方程：

d[x, y] = d[x - 1, y] + d[x, y - 1];

　　这里其实也是很好理解的，到d[x, y]就是到达x,y 这个点的最短路径的条数。

       到这一步有两种方法，一种是最后一步在 (x - 1, y) 这点，另一种就是到达 (x, y - 1)这一点， 所以到达(x, y)这点一共就这两种可能，相加即可 ，即 d[x - 1, y] + d[x, y - 1]。