DP入门——DAG上的动态规划

Posted 2020-10-06 GGBeng

有向无环图（DAG,Directed Acyclic Graph）上的动态规划是学习动态规划的基础。很多问题都可以转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。

一、DAG模型

【嵌套矩形问题】

问题：有n个矩形，每个矩形可以用两个整数a、b描述，表示它的长和宽。矩形X(a , b)可以嵌套在矩形Y(c , d)中当且仅当a<c,b<d,或者b<c,a<d(相当于把矩形X旋转90°)。例如(1,5)可以嵌套在(6, 2)内，但不能嵌套在(3, 4)内。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除了最后一个之外，每个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。如果有多解，矩形编号的字典序应尽量小。

分析：矩形之间的“可嵌套”关系是一个典型的二元关系，二元关系可以用图来建模。如果矩形X可以嵌套在矩形Y里，就从X到Y连一条有向边。这个有向图必然是无环的，因为一个矩形无法直接或间接地嵌套在自己内部。换句话说，它是一个DAG。这样，所要求的便是DAG上的最长路径。

【硬币问题】

问题：有n种硬币，面值分别为V₁, V₂, ..., V_n，每种都有无限多。给定非负整数S，可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S？输出硬币数目的最小值和最大值。1 <= n <= 100, 0 <= S <= 10000, 1 <= V_i <= S。

分析：此问题尽管看上去和嵌套矩形问题很不一样，但本题的本质也是DAG上的路径问题。将每种面值看作一个点，表示“还需要凑足的面值”，则初始状态为S，目标状态为0。若当前在状态 i，每使用一个硬币 j，状态便转移到i - V_j 。

补充：这个模型和上一题类似，但也有一些明显地不同之处：上题并没有确定路径的起点和终点（可以把任意矩形放在第一个和最后一个），而本题的起点必须为S，终点必须为0 。点固定之后“最短路”才是有意义的。在上题中，最短序列显然是空（如果不允许空，就是单个矩形，不管怎样都是平凡的），而本题的最短路径却不容易确定。

二、最长路及其字典序（嵌套矩形）

　　如何求DAG中不固定起点的最长路径呢？

　　仿照数字三角形的做法，设d（i）表示从结点 i 出发的最长路长度，应该如何写状态转移方程呢？第一步只能走到它的相邻点，因此：d（i）= max{d（j）+1} ,（i , j）∈E，E为边集。则最终答案是所有d（i）中的最大值。

　　有条理地列下来就是：

• 状态：d（i）
• 状态转移方程：d（i）= max{d（j）+1} 

　　我们可以使用递推或记忆化搜索的方法计算状态转移方程。不管使用哪种方法，我们都要先把图建立出来，假设用邻接矩阵保存在矩阵G中（一定要确保建图过程正确无误）。

　　我们在此以记忆化搜索的方法求解，下面给出记忆化搜索程序（调用前需初始化d数组的所有值为0）：

int dp(int i)
{
	int& ans = d[i];			//为表项d[i]声明一个引用ans 
	if(ans > 0)	return ans;
	ans = 1;
	for(int j=1;j<n;j++){
		if(G[i][j]){
			ans = max(ans,dp(j)+1);
		}
	}
	return ans;
}

　　这里使用了一个技巧——为表项d[i]声明一个引用ans。这样，任何对ans的读写实际上都是在对d[i]进行。当d[i]换成d[i][j][k][l][m][n]这样很长的名字时，该技巧的优势就会很明显。

　　提示：在记忆化搜索中，可以为正在处理的表项声明一个引用，简化对它的读写操作。

　　原题还有一个要求：如果有多个最优解，矩形编号的字典序应最小。

　　我们可以将所有d值计算出来以后，选择最大d[i]所对应的i。如果有多个i，则选择最小的i，这样才能保证字典序最小。接下来可以选择d（i）= d（j）+1 且（i , j）∈ E的任何一个 j 。为了让方案的字典序最小，应选择其中最小的 j 。程序如下：

void print_ans(int i){
	printf("%d ",i);
	for(int j=1;j<=n;j++){
		if(G[i][j] && d[i]==d[j]+1){
			print_ans(j);
			break;
		}
	}
}

　　提示：根据各个状态的指标值可以依次确定各个最优方案，从而构造出完整方案。由于决策是依次确定的，所以很容易按照字典序打印出所有方案。

　　注意，当找到一个满足d[i]= d[j]+1的结点j后就应立刻递归打印从j开始的路径，并在递归返回后退出循环。如果要打印出所有方案，只把break语句删除是不够的。正确的方法是记录路径上的所有点，在递归结束时才一次性输出整条路径。程序可以自行编写。

　　有趣的是，如果把状态定义成“d（i）表示以结点i为终点的最长路径长度”，也能顺利求出最优值，却难以打印出字典序最小的方案。想一下，为什么？

三、固定终点的最长路和最短路——硬币问题