平面图与对偶图

Posted 2020-10-06

　　平面图就是能在平面上画出来, 且所有边仅在顶点处相交的图.

　　对于一个平面图, 我们按照下面方式定义它的对偶图:

　　　　将每个平面区域建立一个节点.

　　　　对于原图中的每条边, 将与它相邻的两个平面区域对应的节点连边.

　　点定位:　确定平面中的某个点在哪个区域.

　　举个例子来说:

　　　　

　　

　　对于平面图转化为对偶图, 很多时候图都是方方正正的网格图, 可以方便地进行标号.

　　但是至于平面图与对偶图的一般转化, 我还不大会, 可以看一下 miskcoo 的博客 .

　　orz GEOTCBRL,  WC 2013 平面图 1A .

 

　　平面图与它的对偶图有这样一个有用的性质.

　　将平面图框在一个正交的矩形内部, 定义它的左上角, 右下角不存在.

　　设它左下方无限大的平面区域为 S , 右上方无限大的平面区域为 T .

　　那么平面图的割, 与对偶图中从 S 到 T 的路径一一对应.

 

　　这条性质是很有用的, 它提供了转化的契机.

　　平面图网络流:　最大流变成了最小割, 在对偶图中变成了最短路.

　　还可以进行 DP 之类的.