bzoj1044[HAOI2008]木棍分割 二分+dp

Posted 2020-10-06 GXZlegend

题目描述

 

有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 现在允许你最多砍断m个连接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长度最大的一段长度最小. 并将结果mod 10007。。。

 

 

输入

 

输入文件第一行有2个数n,m.接下来n行每行一个正整数Li,表示第i根木棍的长度.n<=50000,0<=m<=min(n-1,1000),1<=Li<=1000.

 

 

输出

 

输出有2个数, 第一个数是总长度最大的一段的长度最小值, 第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件.

 

 

样例输入

3 2
1
1
10

样例输出

10 2

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题解

二分+dp

第一问即 noip2015跳石头 。。。一眼二分，然后看不满足条件时就切一刀，判断是否小于m。

第二问求方案数，很显然是个dp。

设$f[i][j]$表示前$i$个分了$j$段的方案数，那么状态转移方程应该为$f[i][j]=\sum\limits_{len(t+1,i)\le ans1}f[t][j-1]$，边界条件$f[0][0]=1$，其中$len(a,b)表示$[a,b]$所有木棍的长度总和。

可以发现$t$的取值范围是一段连续的单调的区间，因此可以用类似双指针的方法扫出$t$的取值左端点。然后$\sum$又可以使用前缀和维护，这样时间复杂度就降为了$O(nm)$。

然而这样还会炸空间。。。

因此使用滚动数组就好了，显然第二维是可以滚动的，因此先枚举第二维，滚动一下就好了。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 50010
#define mod 10007
using namespace std;
int n , m , a[N] , sl[N] , f[2][N] , sum[2][N];
bool judge(int mid)
{
	int i , now = 0 , cnt = 0;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		if(now + a[i] > mid) now = 0 , cnt ++ ;
		now += a[i];
	}
	return cnt <= m;
}
int main()
{
	int i , j , l = 0 , r = 0 , mid , ans = -1 , p = 0 , ret = 0 , d;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]) , l = max(l , a[i]) , r += a[i] , sl[i] = sl[i - 1] + a[i];
	while(l <= r)
	{
		mid = (l + r) >> 1;
		if(judge(mid)) ans = mid , r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	printf("%d " , ans);
	for(i = 0 ; i <= n ; i ++ ) sum[0][i] = 1;
	for(i = d = 1 ; i <= m + 1 ; i ++ , d ^= 1)
	{
		sum[d][0] = p = 0;
		for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
		{
			while(sl[j] - sl[p] > ans) p ++ ;
			f[d][j] = sum[d ^ 1][j - 1];
			if(p) f[d][j] = (f[d][j] - sum[d ^ 1][p - 1] + mod) % mod;
			sum[d][j] = (sum[d][j - 1] + f[d][j]) % mod;
		}
		ret = (ret + f[d][n]) % mod;
	}
	printf("%d\n" , ret);
	return 0;
}