浅谈矩阵变换——Matrix

Posted 2020-10-05

　　矩阵变换在图形学上经常用到。基本的常用矩阵变换操作包括平移、缩放、旋转、斜切。
　　
　　每种变换都对应一个变换矩阵，通过矩阵乘法，可以把多个变换矩阵相乘得到复合变换矩阵。
　　
　　矩阵乘法不支持交换律，因此不同的变换顺序得到的变换矩阵也是不相同的。
　　
　　事实上，图像处理时，矩阵的运算是从右边往左边方向进行运算的。这就形成了越在右边(右乘)的矩阵，越先运算(先乘)，反之亦然。所以，右乘就是先乘，左乘就是后乘。
　　
　　复合变换矩阵T = 变换矩阵T1 x 变换矩阵T2 x 变换矩阵T3。
　　
　　图形是由一个个点组成的，得到变换矩阵T后，左乘以变换前的图形像素矩阵M，即可达到变换后像素矩阵M’，即M‘ = T x M。
　　
　　在android中，用Matrix这个类代表矩阵。Matrix是一个3x3的矩阵，
　　
　　提供了基本的变换，translate、scale、rotate、skew，针对每种变换，Android提供了set、pre和post三种操作方式。
　　
　　set用于设置单位矩阵中的值。我们通过new Matrix()得到的是一个单位矩阵，后续的矩阵变换都是针对这个单位矩阵进行变换。如Matrix.setRotate(90)、Matrix.setTranslate(10,20)等。
　　
　　pre指先乘，相当于矩阵运算中的右乘。如Matrix.setRotate(90)，表示M‘ = M * R(90)。
　　
　　post指后乘，相当于矩阵运算中的左乘，如Matrix.setRotate(90)，表示M‘ = R(90) * M。
　　
　　矩阵乘法不支持交换律，所以区分先乘和后乘是非常有必要的！在实际开发中中，通常先new Matrix()获取一个单位矩阵，再通过set操作设置初始矩阵，那么后续的变换到底是pre（先乘）还是post（后乘）运算，都是相对这个矩阵而言的(pre在初始矩阵的右边，post在初始矩阵的左边)。最后得到的复合变换矩阵再左乘以原图矩阵。
　　
　　先乘
　　
　　后乘
　　
　　如上面的矩阵变换，实际中的运算如下，M‘ = T(www.zbcppt.com10,10) x R(θ) x T(-10,-10) x M。
　　
　　点（x0,y0）经过矩阵变换后得到（x,y），如果对图形中的所有点应用该变换矩阵，则产生的效果就是整个图都变换了。那么如何理解上面的变换呢？它是先平移（10，10）还是先平移（-10，-10）？
　　
　　首先我们得明白上面变换的效果是什么——让图形围绕点（10，10）顺时针旋转角度θ。
　　
　　按照我们上面说的，实际运算时，是从右边往左开始运算，那么这时的变换顺序是，T(-10,-10)->R(θ)->T(10,10)，
　　
　　把所有的顶点（坐标）位置平移（-10，-10），也就是分别沿x轴y轴的负方向平移10个单位，然后沿着原点（0，0）把顶点旋转角度θ，最后再把顶点的位置平移（10，10）.
　　
　　可见这里变换的是坐标（也就是顶点）位置，坐标系不变。
　　
　　自定义view时，往往在onDraw(canvas)方法里实现绘图，canvas表示画布，我们可以在代码里对画布进行矩阵变换，如下面的代码，
　　
　　效果也是让画布围绕点（10，10）旋转θ度。我们在看看Canvas中translate()方法的注释。
　　
　　/**
　　
　　*
　　
　　*/
　　
　　可见canvas.translate()方法实现的操作是先乘（preconcat）,等同于Matrix.preTranslate()。其实canvas中的矩阵变换方法rotate()、scale()、skew()，也是先乘操作。按照先乘的定义，先乘操作在初始矩阵的右边，那么多个先乘操作时，后面的先乘在前面的先乘右边。那么这时候你会发现，实际的运算式子刚刚好跟代码中的顺序一样，即M‘ = T(10,10) x R(www.wmyl11.com/θ) x T(-10,-10) x M，M表示初始矩阵。然后问题又来了，按照前面说的变换顺序，T(-10,-10)->R(θ)->T(10,www.120xh.cn/ 10)，又是跟代码相反的！难道我们要把代码反过来理解吗？
　　
　　其实这里有两种方式，第一种，把运算式子写出来如M‘ = T(10,10) x R(θ) x T(-10,-10) x M，然后在按照从右边到左边的顺序（T(-10,-10)->R(θ)->T(10,10)）去理解，改变的是坐标位置，坐标系不变。第二种，索性就从左边开始理解，这样既跟代码的顺序一致，也符合我们平时的阅读习惯，从左往右。
　　
　　如果采用第二种方式去理解矩阵变换，就得改变变换的空间想象，这个时候改变得是坐标系，不变的是坐标位置，即坐标位置相对于它所在的坐标系里一直是不变的。如下是采用变换坐标系的空间想象去理解一开始的图形矩阵变换(灰色的是初始的坐标系)。
　　
　　坐标系先平移了（10，10），然后把平移后的坐标系绕它的原点（0，0）旋转角度θ，再把变换后的坐标系沿着它的坐标轴方向平移（-10，10），最后在最终得到的坐标系里面绘出图形，这个过程中图形相对于它的坐标系的坐标位置一直保持不变。
　　
　　可见最后实现的效果是一样的！对于一组矩阵变换操作，可以分别使用变换坐标位置和变换坐标系的空间想象去理解，没有哪个更优之说，无论采取哪种变换思想，首先第一步都是得明确实际的变换运算式子，然后再决定采取从左往右的变换坐标系的空间想象，还是采取从右往左的变换坐标位置的空间想象。
　　
　　在这里，个人推荐使用变换坐标系的空间想象，因为这样可以做到通用，canvas和openGL里面的图形运算的矩阵操作都是先乘的，这样我们就可以按照代码的顺序去理解变换。像前面的Matrix的代码，我们可以让代码跟采用变换坐标系的空间想象的理解顺序一样。
　　
　　其实无论代码怎么写，只要运算式子是一样的即M‘ = T(10,10) x R(θ) x T(-10,-10) x M，实现的效果其实都是一样的！（上面的代码没有调用set方法，所以变换操作都是针对单位矩阵的，任何矩阵无论是左乘还是右乘以单位矩阵，都等于该矩阵，相当于数字乘法中的1的效果，所以这里表示运算顺序的式子中把单位矩阵忽略掉了。）
　　
　　所以代码还可以这样写，刚好跟先乘的代码相反.
　　
　　所以重要的是知道运算式子，下面给出一个例子。
　　
　　那么上面变换的实际运算式子是什么呢？先尝试自己写出来，再看下面的答案。（注意：后调用的pre操作更靠右，而后调用的post操作更靠左）
　　
　　运算式子为：
　　
　　再写一段代码，在画布上画出一段文字，对其做一些旋转平移操作。
　　
　　试着画出最终的效果。
　　
　　说了那么多矩阵变换的例子，似乎还没涉及到缩放变换，好，现在就给一个。
　　
　　上面是原图，分别说出下面两段代码的变换效果。
　　
　　其实上面的两个变换效果都是一样的！效果如下。
　　
　　按照变换坐标系的空间想象，第一段代码，首先把坐标系放大两倍，然后把放大后的坐标系向下平移了一个图片高度（由于坐标系放大了，这个时候的高度实际是初始图片高度的两倍！）。第二段代码，首先将坐标系向下平移了两个图片高度，然后再把坐标系放大两倍。仔细想想，虽然它们的运算式子不一样，但它们的变换效果却是一样的！
　　
　　最后，再说一个有趣的地方。其实View的onDraw(canvas)方法里的canvas（画布），在最初从根布局传下来时的原点就在屏幕的左上角，但传到当前view时，已经经过过裁剪（clip）和平移。裁剪的作用就是为了防止画出的内容超出的view的范围，而平移则是通过canvas.translate()实现，让画布的坐标系平移到当前view的原点，接下来在画布上的操作都是相对于这个原点的。所以就可以明白为什么当我们在view中绘图时，如果绘制的坐标是（0，0）,图形出现在view的左上角，而不是屏幕的左上角。
　　
　　还有两个常用的方法，save()和restore(www.hjdyl.com)。
　　
　　/**
　　
　　*
　　
　　*/
　　
　　/**
　　
　　*/
　　
　　方法就是保存当前的矩阵/裁剪状态。restore()就是把当前的矩阵/裁剪状态恢复到方法保存起来的那个状态下。也就是说 在和restore()方法之间做的矩阵变换或裁剪操作，在调用restore()方法后都不生效，画布恢复到方法之前的状态。
　　
　　保存状态（入栈）
　　
　　绘制蓝色方块
　　
　　恢复状态（出栈）
　　
　　绘制绿色方块
　　
　　上面的代码效果如下。
　　
　　可见在save()和restore()方法之间的变换操作并没有影响到绿色方块的绘制，它还是相对于save()之前的画布绘制自己。
　　
　　好的，矩阵变换就这么多了！上面的所述并没有多少需要自己计算的地方，主要是靠理解矩阵在空间中如何变换的，空间形象力很重要。理解了之后，要实现一个图形的变换效果，那就容易多了！加油吧。