洛谷P1244 青蛙过河

Posted 2020-10-05 zbtrs

P1244 青蛙过河

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题目描述

有一条河，左边一个石墩(A区)上有编号为1，2，3，4，…，n的n只青蛙，河中有k个荷叶(C区)，还有h个石墩(D区)，右边有一个石墩(B区)，如下图所示。n只青蛙要过河(从左岸石墩A到右岸石墩B)，规则为：

(1)石墩上可以承受任意多只青蛙，荷叶只能承受一只青蛙(不论大小)；

(2)青蛙可以：A→B(表示可以从A跳到B，下同)，A→C，A→D，C→B，D→B，D→C，C→D；

(3)当一个石墩上有多只青蛙时，则上面的青蛙只能跳到比它大1号的青蛙上面。

你的任务是对于给出的h，k，计算并输出最多能有多少只青蛙可以根据以上规则顺利过河?

输入输出格式

输入格式：

 

两个整数h,k

 

输出格式：

 

一个整数，表示最多能有多少只青蛙可以根据以上规则顺利过河。

 

输入输出样例

输入样例#1：

2 3

输出样例#1：

16
分析：这道题很显然是一道递推的题，和汉诺塔问题差不多，影响答案的是荷叶的数量和石墩的数量，那么我们设f[i][j]表示有i个石墩,j个荷叶，最多能跳过去多少只青蛙.先从小的情况来考虑，f[0][j] = j + 1,很显然，先让一只青蛙跳到石墩上，然后其它青蛙跳到荷叶上，最后统一跳到石墩上.那么f[1][j]呢？有了另外一个石墩，我们可以先让尽量多的小号青蛙跳到D上，再让尽量多的大号青蛙跳到B上，最后让D上的青蛙跳到B上，这样我们可以先把B当作不存在，那么就是前一种情况f[0][j],然后把D当作不存在，还是前一种情况f[0][j],那么f[1][j]就是2*f[0][j].
      再来分析一下f[2][j],跳到B上的和跳到一号石墩的青蛙数是2*f[0][j],跳到二号石墩的青蛙数就是f[1][j]了，因为我们只考虑二号石墩，忽略一号石墩，把二号石墩当作了终点,那么相当于只有一号石墩的这种情况，其他石墩就不能当作终点了。可以得到f[i][j] = sum{f[k][j]} + f[0][k](0 <= k < j),f[0][j]告诉了，那么我们可以化简这个式子，f[1][j] = 2*f[0][j],f[2][j] = 4*f[0][j],f[3][j] = 8*f[0][j],那么最终答案就是（k+1）*2^h.
      比较值得回味的几个地方：1.定义状态看哪些量对答案有影响，最直接的就是把输入定义为状态.2.先分析小情况，一步一步推向一般情况.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

int h,k;

int main()
{
    scanf("%d%d",&h,&k);
    printf("%d\n",(k + 1) * (1 << h));
    
    return 0;
}