洛谷 P1468 [USACO2.2]派对灯 Party Lamps

Posted 2020-10-05

题目描述

在IOI98的节日宴会上，我们有N(10<=N<=100)盏彩色灯，他们分别从1到N被标上号码。 这些灯都连接到四个按钮：

按钮1：当按下此按钮，将改变所有的灯：本来亮着的灯就熄灭，本来是关着的灯被点亮。

按钮2：当按下此按钮，将改变所有奇数号的灯。

按钮3：当按下此按钮，将改变所有偶数号的灯。

按钮4：当按下此按钮，将改变所有序号是3*K+1(K>=0)的灯。例如：1,4,7...

一个计数器C记录按钮被按下的次数。当宴会开始，所有的灯都亮着，此时计数器C为0。

你将得到计数器C(0<=C<=10000)上的数值和经过若干操作后某些灯的状态。写一个程序去找出所有灯最后可能的与所给出信息相符的状态，并且没有重复。

输入输出格式

输入格式：

 

不会有灯会在输入中出现两次。

第一行: N。

第二行: C最后显示的数值。

第三行: 最后亮着的灯,用一个空格分开，以-1为结束。

第四行: 最后关着的灯,用一个空格分开，以-1为结束。

 

输出格式：

 

每一行是所有灯可能的最后状态(没有重复)。每一行有N个字符，第1个字符表示1号灯，最后一个字符表示N号灯。0表示关闭，1表示亮着。这些行必须从小到大排列（看作是二进制数）。

如果没有可能的状态，则输出一行‘IMPOSSIBLE‘。

 

输入输出样例

输入样例#1：

10
1
-1
7 -1

输出样例#1：

0000000000
0101010101
0110110110

说明

在这个样例中，有三种可能的状态：

所有灯都关着

1,4,7,10号灯关着，2,3,5,6,8,9亮着。

1,3,5,7,9号灯关着，2, 4, 6, 8, 10亮着。

翻译来自NOCOW

USACO 2.2

 

【分析】

又是一道很有意思的题，懒得打题解了就搬一个讲得最详细的来吧。

··· 以下是nocow思路：

每个按钮按2次和没按效果是一样的。所以每个按钮或者按或者不按，一共有2^4=16种状态。枚举每个按钮是否按下，然后生成结果，排序输出即可（注意判重）。

另外灯1和灯7,2和8,3和9...是一样的因此当N>=6时只需处理前6个,排序时转换为10进制数, 输出时反复输出前6个的状态.

深究：

这道题如果深究的话会变得非常简单， 但是提前声明，如果对这道题兴趣不大，或者是初学者，建议跳过， 刚才的分析已经足以过这道题。 我们现在记不按按钮，以及按下1，2，3，4按钮分别O，①，②，③，④， 那么，按下3，4，可以记为③④，以此类推， 我们发现一个问题，那就是①，②，③之间微妙的关系， ①②=③，而②③=①，①③=②（可以自己试试），于是我们知道，①②③也相当与不按，即相差3的倍数也可互相转换；

所以，所谓前四个的16种按法其实只有8种， 分别为：O,①，②，③，④，①④，②④，③④；

然后讨论c， 由于当c>4时，均可化为当c<=4的情况， 所以我们先讨论当c<=4的情况，

当c=0时，只有一种O；

当c=1时，四种：①，②，③，④；

当c=2时，除了④均可（可以自己想想）；

当c=3时，由于3-1=2，所以c=1的情况都满足，而在c=2中，把所有有前三类的展开，如①④变为②③④， 可知满足c=2的同时满足c=3，所以c=3其实是c=2和c=1的并集，即所有按法均可。

当c=4时，由于4-1=3（①②③相当于不按），且4-2=2，由上，c=4也是所有按法均可。

当c>4时，我先有一个引理：对于任意的正整数n>1，均可写成n=2*p+3*q(p,q为非负整数）的形式， 证明如下：若n为偶数，必然成立，若n为奇数，必然大于2，则n-3必为非负偶数，得证。 由这个引理我们可以知道，任意c>4均可写成，c=2*p+3*q+3(p,q为非负整数）的形式，而可知， 对于两个相同的按键，以及情况①②③（按键三次），均相当于不按，所以任意c>4均可化归为c=3的情况， 即当c>4时，所有按法均可。

综上所述，

当c=0时，只有一种O；

当c=1时，四种：①，②，③，④；

当c=2时，除了④均可；

当c>2时，所有按法均可。

好了，这样一来就非常简单了， 只有四种情况，8种按法。

 

【代码】

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int a[10][10]={{}, {0, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 1, 1, 1, 0}, {0, 0, 1, 0, 1, 0, 1}, {0, 0, 1, 1, 0, 1, 1}, {0, 1, 0, 0, 1, 0, 0}, {0, 1, 0, 1, 0, 1, 0}, {0, 1, 1, 0, 0, 0, 1}};
 5 int n, c, op[10], cl[10], x;
 6 bool flag;
 7 
 8 void init() {
 9     cin >> n >> c;
10     c=min(3, c);
11     memset(op, 0, sizeof(op));
12     memset(cl, 1, sizeof(cl));
13     while (scanf("%d", &x)==1) {
14         if (x==-1)
15             break;
16         op[x%6?x%6:6]=1;
17     }
18     while (scanf("%d", &x)==1) {
19         if (x==-1)
20             break;
21         cl[x%6?x%6:6]=0;
22     }
23 }
24 
25 void check(int t) {
26     for (int i=1;i<=6;++i)
27         if ((op[i] && !a[t][i]) || (!cl[i] && a[t][i]))
28             return;
29     flag=true;
30     for (int i=1;i<=n;++i)
31         printf("%d", a[t][i%6?i%6:6]);
32     printf("\n");
33 }
34 
35 void sovle() {
36     if (c==0)
37         check(1);
38     else if (c==1)
39         check(2), check(4), check(5), check(7);
40     else if (c==2)
41         check(2), check(3), check(4), check(6), check(7), check(8), check(1);
42     else
43         check(2), check(3), check(4), check(5), check(6), check(7), check(8), check(1);
44     if (!flag)
45         cout << "IMPOSSIBLE" << endl;
46 }
47 
48 int main() {
49     init();
50     sovle();
51 }