[NOIp 2016]愤怒的小鸟

Posted 2020-10-05 NaVi_Awson

Description

Input

Output

Sample Input

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

Sample Output

1
1

Sample Explanation

HINT

题解

暴力做法:

1、因为三点可以确定一条抛物线,又必过原点,那么只需要再找两个点就能确定一条抛物线;

2、枚举点对,求出抛物线方程,注意两点的$x$坐标不能相等,抛物线的二次项系数必须小于$0$;

3、删掉在抛物线上的点,进入下一层继续枚举。

60分算法:

1、如果使用暴力,我们会删掉一些线段进入下一个状态,一个状态是指现在平面内还剩多少个点;

2、注意到一点:从当前状态无论以什么方式删点,均不会影响之前状态到当前状态的决策。也就是说:在之前的状态时,我们只需要考虑,怎样删点来到达当前状态即可,而不用管当前状态下如何删点来到达下一个状态;

3、这具备明显的无后效性,我们用一个二进制数$S$来表示一个状态,若$S$的第$i$位为$1$,则表示第$(i+1)$个点还存在于平面内,那么状态压缩的$DP$可以解决;

4、同样对于每个状态枚举抛物线即可。

100分算法:

1、平面内有$n$个点,共$2^n$个状态,每次枚举抛物线还要检查每个点,需要$O(n^3)$复杂度;

2、每次都要枚举抛物线经过的两个点,即抛物线必定会删去的两个点。既然我们的最终目标是将当前状态所有的点都删去,那么可以知道,删掉所有点的最优方案中,一定会有一条抛物线经过当前状态的第一个点(否则就没法删掉它了);

3、那么我们只需要枚举经过当前状态第一个点的抛物线就可以(这么做一定不会有错误的决策)。

 

 1 #include <set>
 2 #include <map>
 3 #include <ctime>
 4 #include <cmath>
 5 #include <queue>
 6 #include <stack>
 7 #include <vector>
 8 #include <cstdio>
 9 #include <string>
10 #include <cstring>
11 #include <cstdlib>
12 #include <iostream>
13 #include <algorithm>
14 #define x1 x[i]
15 #define x2 x[j]
16 #define y1 y[i]
17 #define y2 y[j]
18 #define LL long long
19 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
20 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
21 using namespace std;
22 const double ex=1e-8;
23 int st[20] = {1};
24 
25 int n, m;
26 double x[20], y[20];
27 int c[20][20];
28 int f[(1<<18)+5];
29 
30 void work(){
31     scanf("%d%d", &n, &m);
32     for (int i = 0; i < n; i++)
33     　　scanf("%lf%lf", &x[i], &y[i]);
34     memset(c, 0, sizeof(c));
35     for (int i = 0; i < n; i++)
36     　　for (int j = i+1; j < n; j++){
37      　　   double a = (x1*y2-y1*x2)/(x1*x2*x2-x1*x1*x2);
38       　　  if (a >= 0) continue;
39       　　  double b = (y1-a*x1*x1)/x1;
40        　　 for (int k = 0; k < n; k++)
41        　　　　 if (abs(y[k]-a*x[k]*x[k]-b*x[k]) <= ex)
42          　　　　   c[i][j]+=st[k];
43     }
44     memset(f, 127, sizeof(f));
45     f[0]=0;
46     int lim = (1<<n)-1;
47     int INF = f[1];
48     for (int i = 0; i <= lim; i++)
49     　　if (f[i] != INF)
50         　　for (int j = 0; j < n; j++)
51         　　　　if (!(i&st[j])){
52             　　　　f[i|st[j]] = Min(f[i|st[j]], f[i]+1);
53             　　　　for (int k = j+1; k < n; k++){
54           　　　　 　　 int tmp = i|c[j][k];
55           　　　　 　　 f[tmp] = Min(f[tmp], f[i]+1);
56            　　　　 }
57        　　　　 }
58     printf("%d\\n", f[lim]);
59 }
60 
61 int main(){
62     for (int i = 1; i <= 18; i++)
63     st[i] = st[i-1]<<1;
64     int t;
65     scanf("%d", &t);
66     while (t--)
67     　　work();
68     return 0;
69 }