[jzoj]4216.NOIP2015模拟9.12平方和

Posted 2020-10-05 Philchieh

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　　https://jzoj.net/senior/#main/show/4216

Description

　　给出一个N个整数构成的序列，有M次操作，每次操作有一下三种：

　　①Insert Y X，在序列的第Y个数之前插入一个数X；
　　②Add L R X，对序列中第L个数到第R个数，每个数都加上X；
　　③Query L R，询问序列中第L个数到第R个数的平方和。

Solution

　　我不会告诉你这道题我打了10000+byte，并且改了2个月，50多个小时，删掉代码重打了5次。这道题用splay来弄是十分简单的一道裸体。但是我这种渣渣只能用可行的线段树。别人一次能打对，我仍要检查许多线段树的细节，并且打了N多个操作。可能是我代码风格不好吧。但为了方便检查也只好这样了。

30分

　　显然，暴力去做，可以拿到拿烂的部分分。

50分
　　在30分的基础上，数据增大， 但是没有Insert的操作，所以是线段树裸题。

100分

　　大佬肯定是一眼切。这是道Splay练手题目，可以看看gmh大神的题解，异常详细。请允许我打个广告。http://blog.csdn.net/gmh77

　　Splay以后我会推进并且更改这个博文。现在我只会线段树。

　　对于前两个操作，显然就是线段树裸题，毋庸置疑的。

　　但是，因为有了Insert操作，导致我们线段树的下标代表的数不一样。既然在线不可以，离线总是可以的。

　　①线段树1（前缀和）维护位置

　　在原本序列的第i个数和i-1个数之间（包括i），插入了多少个数。

　　最终用线段树1维护了出来之后，我们很容易的知道了原本序列的数他在最终序列的位置。这是值得你思考的地方

　　②线段树2维护最终序列

　　我们知道了原本序列每一个数在最终序列对应的位置，那么理所当然地可以再种一棵线段树2来维护插入的数的最终位置。

　　一开始把原序列的数，在最终序列对应位置，标记在线段树那个位置上，0表示当前位置不选，反之。这样一个前缀和就知道最终序列第i个位置之前（包括i）一共出现了多少个数。

　　那么每次插入一个数，我们二分出一个i，满足i最小，设1~i前缀和为sum。则满足sum=插入在哪个位置之前-1。这个位置，便是你当前插入的数在最终序列的位置。愉快地记录下来。

　　前缀和用线段树2维护。

　　如果正着做必然会错。倒着做才是对的。这是你值得思考的。

　　因为后放的，必然在左边。

　　③线段树3,4,5维护最终序列

　　我们可以用正常线段树来做了，因为我们可以通过最终位置来确定其对应的线段树下标。

　　但是平方和又是一个棘手的问题。

　　分解一下。

　　(a+b)²=a²+b²+2ab。

　　显然，每次加一个数，b就是这个加的数。

　　a²为原本的平方和，故用线段树3来维护他。

　　2ab，其中如果有多个a，那么就是2b(a1+a2+a3.....+an)，那么维护线段树4维护和即可。