浅析树链剖分Orz

Posted 2020-10-05

本文思路参考自何开大佬

引子

相信各位大佬一定会线段树这种非常实用的数据结构

那么如果我们要维护一棵树上的链的权值的时候怎么办

就比如说BZOJ1036树的统计这道题目

可能诸位草率地想想线段树是可以口头AC的，But 这是在一棵树上，线段树支持的连续的区间操作

在这棵树上，如果链的编号断断续续，那么我们的线段树就和暴力没有什么区别有一点点区别了

概念

所以这里就需要用到树链剖分，这种可以支持树上链操作的数据结构

树链剖分有很多高大上的名词需要我们去记

我们先定义一些概念东东

size[u]表示以u为根的树的大小

dep[u]表示u的深度（根的深度定为1）

fa[u]表示u的爸爸（？？？）

有了这些东东，我们开始定义真正的概念

重儿子：u的所有儿子v中，size[v]最大的v称为u的重儿子

轻儿子：u的所有儿子v中，不是重儿子的都被叫做轻儿子

重边:u 连向它的重儿子的边称为重边

沁轻边：u连向它的轻儿子的边称为轻边

重链：组成这条链的所有的边都是重边

沁轻链：组成这条连的所有边都是轻边

一些小性质

性质1：V为u的轻儿子，则必有size[V] <= size[u] / 2

这个性质证明可以用到反证法

如果存在V为轻儿子并且size[V] > size[u] / 2

我们会发现如果一个节点成为重儿子的条件就是size[V] >= size[u] / (SonNumber[u])  　　　　//SonNumber[u]表示u的儿子的数目

因为size[u] / 2 > size[u] / 3 > size[u] / 4 ………………………………

而且size[V] 是不可能大于size[u]的

所以，V为这时候只能为重儿子

与假设不符

证毕~~~~

性质2：从根到某一节点的路径上，轻边的数量不超过O(log N),重链的数目不超过O(log N)

这个我们也是可以证明的

因为我们可以从性质1直接推得轻边的数量不超过O(log N)

后来我们发现

没存在一条轻边，就会出现两条重链

所以重链的数量不超过O(log N)

证毕~~~~

操作