bzoj 3991: [SDOI2015]寻宝游戏

Posted 2020-10-05 qt666

Description

 小B最近正在玩一个寻宝游戏，这个游戏的地图中有N个村庄和N-1条道路，并且任何两个村庄之间有且仅有一条路径可达。游戏开始时，玩家可以任意选择一个村庄，瞬间转移到这个村庄，然后可以任意在地图的道路上行走，若走到某个村庄中有宝物，则视为找到该村庄内的宝物，直到找到所有宝物并返回到最初转移到的村庄为止。小B希望评测一下这个游戏的难度，因此他需要知道玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。但是这个游戏中宝物经常变化，有时某个村庄中会突然出现宝物，有时某个村庄内的宝物会突然消失，因此小B需要不断地更新数据，但是小B太懒了，不愿意自己计算，因此他向你求助。为了简化问题，我们认为最开始时所有村庄内均没有宝物

Input

 第一行，两个整数N、M，其中M为宝物的变动次数。

接下来的N-1行，每行三个整数x、y、z，表示村庄x、y之间有一条长度为z的道路。

接下来的M行，每行一个整数t，表示一个宝物变动的操作。若该操作前村庄t内没有宝物，则操作后村庄内有宝物；若该操作前村庄t内有宝物，则操作后村庄内没有宝物。

Output

 M行，每行一个整数，其中第i行的整数表示第i次操作之后玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。若只有一个村庄内有宝物，或者所有村庄内都没有宝物，则输出0。

Sample Input

4 5
1 2 30
2 3 50
2 4 60
2
3
4
2
1

Sample Output

0
100
220
220
280

HINT

 1<=N<=100000

1<=M<=100000

对于全部的数据，1<=z<=10^9

Source

Round 1 感谢yts1999上传

 

首先答案是路径的并的权值和乘2，因为每条边至少需要经过两次(一去一回)，而且经过两次必然可以完成遍历。。。

hzwer的做法，答案是dfs序相邻两点距离和加上首尾的距离和，这样保证了每条边都经过了两遍。。。

根据虚树那套理论：

考虑dfs序相邻的两个点x,y和其Lca(dfn[Lca]<=dfn[x]<dfn[y])的关系只有两种情况：

1.x=Lca;

那么y在x的子树内，并且是一棵新的子树，这样x->y的路径被第一次经过。。。

2.x和y分居在Lca的两棵不同子树中，并且我们知道x是Lca的某个子树的叶子节点(即Lca->x的所有路径都被经过了一次)，

而y是Lca的一棵新子树，那么从x->y的路径，经过的路径就是从x->Lca的路径第二次被进过而且不会被再次经过。。。

Lca->y的路径被第一次经过。。。最后我们再从dfs序最大的叶子结点回到根节点，保证其路径被经过了两遍。。。

然后我们就只需要用set来维护dfs序相邻两点的距离即可。。。

// MADE BY QT666
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<set>
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=300050;
int head[N],to[N],nxt[N],w[N],cnt,n,m,bj[N];
int deep[N],size[N],top[N],dfn[N],id[N],son[N],fa[N],tt;
ll dis[N],ans;
set<ll> s;
set<ll>::iterator it,pre,nex;
void lnk(int x,int y,int z){
  to[++cnt]=y,nxt[cnt]=head[x],w[cnt]=z,head[x]=cnt;
  to[++cnt]=x,nxt[cnt]=head[y],w[cnt]=z,head[y]=cnt;
}
void dfs1(int x,int f){
  size[x]=1;deep[x]=deep[f]+1;
  for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
    int y=to[i];if(y==f) continue;
    dis[y]=dis[x]+w[i];dfs1(y,x);
    size[y]+=size[x];fa[y]=x;
    if(size[y]>size[son[x]]) son[x]=y;
  }
}
void dfs2(int x,int f){
  top[x]=f;dfn[x]=++tt;id[tt]=x;
  if(son[x]) dfs2(son[x],f);
  for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
    int y=to[i];if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
    dfs2(y,y);
  }
}
int lca(int x,int y){
  while(top[x]!=top[y]){
    if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);
    x=fa[top[x]];
  }
  if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
  return y;
}
ll calc(int x,int y){return dis[x]+dis[y]-2*dis[lca(x,y)];}
void add(int x){
  s.insert(dfn[x]);it=s.find(dfn[x]);
  if(it!=s.begin()){pre=it;pre--;}
  else {pre=s.end();pre--;}
  if((++it)!=s.end()){nex=it;it--;}
  else {nex=s.begin();}
  ans+=(calc(x,id[*pre])+calc(x,id[*nex])-calc(id[*pre],id[*nex]));
}
void del(int x){
  it=s.find(dfn[x]);
  if(it!=s.begin()){pre=it;pre--;}
  else {pre=s.end();pre--;}
  if((++it)!=s.end()){nex=it;it--;}
  else {nex=s.begin();}
  ans-=(calc(x,id[*pre])+calc(x,id[*nex])-calc(id[*pre],id[*nex]));
  s.erase(dfn[x]);
}
main(){
  scanf("%lld%lld",&n,&m);
  for(int i=1;i<n;i++){
    int x,y,z;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
    lnk(x,y,z);
  }
  dfs1(1,0);dfs2(1,1);
  for(int i=1;i<=m;i++){
    int x;scanf("%d",&x);bj[x]^=1;
    if(bj[x]) add(x);else del(x);
    printf("%lld\n",ans);
  }
  return 0;
}