欧拉函数

Posted 2020-06-29 水郁

定义

欧拉函数?(n)是不超过n且和n互质的正整数的个数。

在微积分学领域，积性函数指的是具有f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)的函数。

• 定理1  对于素数p，?(p)=p−1。
• 定理2  素数幂pⁿ不互质的只有p的倍数，一共有pⁿ/p=pⁿ⁻¹个，故?(pⁿ)=pⁿ−pⁿ⁻¹。
• 定理3  若mn互质，?(mn)=?(m)?(n)，即欧拉函数是积性函数。
• 定理4 设n=p1^a1p2^a2...pk^ak为正整数n的素数幂分解，那么?(n)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)。