[UOJ]#36. 清华集训2014玛里苟斯

Posted 2020-10-05 ditoly

题目大意：给n个数字，求子集的异或和的k次方的期望（n<=10^5，k<=5，保证答案小于2^63）

做法：首先如果从集合中拿出a和b，把a和a xor b放回集合，子集的异或和与原来是一一对应的，用高斯消元的思想可以消到只剩log个数，其他都是0，对答案没有影响。然后考虑k次方的期望，我们把二进制下每一位拆开，假设第i位的数字为xi，答案为(x1+x2+...+xlog)^k的期望，展开式子后发现是选k次x1~xlog中的数（可以重复选），每种选法选的位的乘积的期望的和，暴力枚举每种选法，复杂度为log^k（显然在k比较大时，由于答案范围限制，log不会太大，所以复杂度可以接受），一种选法只有选出的位都为1才对答案有贡献，列出方程然后高斯消元计算合法方案，每种方案的贡献必然是2的次幂并且幂数最小为-1，运算时直接记是多少次幂，算完再乘个2加入答案，最后判是否是奇数输出.5即可。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll unsigned long long
ll read()
{
    ll x;char c;
    while((c=getchar())<‘0‘||c>‘9‘);
    for(x=c-‘0‘;(c=getchar())>=‘0‘&&c<=‘9‘;)x=x*10+c-‘0‘;
    return x;
}
ll z[64],ans;
int mx,k,a[5],t[5];
void dfs(int x)
{
    if(x==k)
    {
        int i,j,x,s=1;
        memset(t,0,sizeof(t));
        for(i=0;i<=mx;++i)if(z[i])
        {
            for(x=j=0;j<k;++j)x|=int(bool(z[i]&(1ULL<<a[j])))<<j;
            for(j=k;j--;)if(x&(1<<j))t[j]?0:(t[j]=x,--s),x^=t[j];
        }
        for(x=(1<<k)-1,i=k;i--;s+=a[i])if(x&(1<<i))x^=t[i];
        if(!x)ans+=1ULL<<s;
        return;
    }
    for(int i=0;i<=mx;++i)a[x]=i,dfs(x+1);
}
int main()
{
    int n,i;
    n=read();k=read();
    while(n--)
    {
        ll x=read();
        for(i=64;i--;)if(x&(1ULL<<i))z[i]?0:z[i]=x,x^=z[i];
    }
    for(mx=64;mx--;)if(z[mx])break;
    dfs(0);
    printf("%lld%s",ans>>1,ans&1?".5":"");
}