[Math] Weekend 1

Posted 2020-06-29

1 - 18

题目：D D1分别是线段BC B1C1的中点 过线段AD的中点P作BC的平行线

解析：(1)AB=AC D是BC中点 --> BC垂直AD

M N 是中点 MN平行BC

MN垂直AD

AA1垂直平面ABC MN属于平面ABC --> AA1垂直MN

MN 垂直 ADD1A1

(2)设AA1=1 A1作A1E平行于B1C1 以A1位坐标原点 分别以E D1 A作xyz A1(0,0,0) A(0,0,1) 因为P为AD中点 --> M N 为 AB AC中点

M(gh3/2,1/2,1) N(-gh3/2,1/2,1) A1M=(gh3/2,1/2,1) A1A=(0,0,1) NM=(gh3,0,0)

aa1m 法向量 n1 n1 a1m=0 n1 a1a=0 --> x=1 y=-gh3

法向量(1,-gh3,0)

a1mn 法向量 n2 n2 a1m=0 n2 nm=0 --> y=2 z=-1

法向量(0,2,-1)

cos=gh15/5

 

1 - 20

(1)e2=c2/a2=3/4 --> a2=4b2 --> x2+4y2=4b2

M(x,y) --> |MQ|=gh(-3(y+1)2+4b2+12) --> y=-1 |MQ|max=4 --> b2=1 a2=4 --> x2/4+y2=1

(2) C:y=x2 N(t,t2) y/=2x --> ybc-t2=2t(x-t) --> y=2tx-t2

--> (1+16t2)x2-16t3x+4t4-4=0 --> delta=16(-t4+16t2+1), x1+x2=16t3/1+16t2  x1x2=4t4-4/(1+16t2)

--> |bc|=gh(1+4t2)|x1-x2|=4gh(1+4t2)gh(-t4+16t2+1)/(1+16t2)

A -> BC == d --> d=1+16t2/(16gh(1+4t2))

Sabc=1/2|BC|d=1/8gh(-(t2-8)2+65)<=gh65/8

t=+-2gh2 -> Sabc=gh65/8

Sabcmax=gh65/8

 

1 - 21

(3)x属于(0,+wq) 恒有1/3x3<ex

令h(x)=1/3x3-ex --> h‘(x)=x2-ex

x>0 ex>x2 --> h‘(x)<0 --> h(x)在(0,+wq)单调递减

--> h(x)<h(0)=-1<0 --> 1/3x3<ex

取x0=3/c x>x0 -> 1/cx2<1/cx3<ex

对于任意c总存在x0 当x属于(x0,+wq) 恒有x2<cex

 

1 - 22

(1) 在ACB中 ACB=90 CD垂直AB --> CD2=ADxDB  CD是切线 --> CD2=CExCB  --> CExCB=ADxDB

(2) ON垂直NF --> NF=gh(OF2-ON2) OF长为定值 则需求解线段ON长度min

弦中点到圆心的距离最短  N为BE中点 --> NFmax=1/2BE=2