ZOJ - 1453 —— Surround the Trees （求凸包长度）

Posted 2020-06-29 SuperChan

题目：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=20416

这道题几乎是纯的“凸包问题”，也让我对于凸包有了入门级的认识。

我看到的比较好的算法是Graham扫描法，用笔模拟了一下该算法，大致就对该算法有所体会了，所以碰到一个新算法，一定要不怕麻烦，通过模拟该算法深入了解其中的奥秘

Graham扫描法

 

                                     

Graham扫描法的具体流程：

　　1. 首先确定所有点中的y值最小的点P0（如果有多个点，任取一个就好）。显然，P0一定是构成凸包的点

　　2. 以P0为原点，将其他的点P1~P8根据极角大小(极角相等的点，按照点到P0的距离升序排序)，升序排序(O(nlgn))。根据几何知识可知，极角最小的点（如上图P1）和极角最大的点（如上图P8）一定是构成凸包的点。

　　3. 准备一个空的栈S，让P0，P1入栈，然后开始遍历P2~P8。假设当前遍历到P2（当前点），那么就将栈顶的两个元素取出(P0和P1)，如果当前点P2位于向量P0指向P1的左侧(或在直线上，这个可以自己定)，那么就将P2入栈；否则，不断让栈顶元素出栈直到P2位于 栈顶两个元素构成的向量 的左侧。(O(n))

整体时间复杂度：O(nlgn)

　　附：对于上图样例，算法每一步的过程：

                         

                        

                        

                        

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Point {
    int x, y;
    Point(int x=0, int y=0):x(x),y(y) {}
} p[105];

typedef Point Vector;

Vector operator - (Point a, Point b)
{
    return Vector(a.x-b.x, a.y-b.y);
}

// 叉乘 
double Cross(Vector a, Vector b)
{
    return a.x*b.y - a.y*b.x;
}

// 确定浮点数的符号性质(+, -, 0) 
const double EPS = 1e-10;
int dcmp(double x)
{
    if(fabs(x) < EPS)    return 0;
    return x < 0 ? -1 : 1;    
}

double Dist(Point a, Point b)
{
    return sqrt((double)(a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y));    
}    

bool cmp(Point a, Point b) // 用于极角排序 
{
    Vector u = a-p[0], v = b-p[0];
    int sign = dcmp(Cross(u, v));
    if(sign == 0)    return Dist(a, p[0]) < Dist(b, p[0]);
    return sign > 0;
}

double grahamscan(Point *a, int n)
{
    if(n == 1)    return 0;
    // 这里zoj和hdu有不同，zoj认为要乘2，hdu认为不乘，有点坑 
    if(n == 2)    return 2*Dist(a[0], a[1]); 
    
    int *st = new int[n];
    int j=0;
    st[j++] = 0;
    st[j++] = 1;
    st[j++] = 2;
    for(int i=3; i<n; i++) {
        // 这里可以取到 等于，减少不必要的距离计算 
        while(dcmp(Cross(a[st[j-1]]-a[st[j-2]], a[i]-a[st[j-2]])) <= 0) --j; 
        st[j++] = i;
    }
    
    double ret = 0.0;
    for(int i=1; i<j; i++) {
        ret += Dist(a[st[i-1]], a[st[i]]);
    }
    return ret + Dist(a[st[0]], a[st[j-1]]);
}

int main ()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF && n) {
        int mini, miny=32767+10;
        for(int i=0; i<n; i++) {
            scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
            if(miny > p[i].y) {
                miny = p[i].y;
                mini = i;
            }
        }
        swap(p[0], p[mini]);
        
        sort(p+1, p+n, cmp);
    
        printf("%.2lf\n", grahamscan(p, n));
    }
    
    return 0;
}