[NOIp 2015]子串

Posted 2020-10-04 NaVi_Awson

Description

有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串,然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串,请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等?注意:子串取出 的位置不同也认为是不同的方案。

Input

输入文件名为 substring.in。

第一行是三个正整数 n,m,k,分别表示字符串 A 的长度,字符串 B 的长度,以及问题描述中所提到的 k,每两个整数之间用一个空格隔开。 第二行包含一个长度为 n 的字符串,表示字符串 A。 第三行包含一个长度为 m 的字符串,表示字符串 B。

Output

输出文件名为 substring.out。 输出共一行,包含一个整数,表示所求方案数。由于答案可能很大,所以这里要求输出答案对 1,000,000,007 取模的结果。

Sample Input1

6 3 1 
aabaab 
aab

Sample Output1

2

Sample Input2

6 3 2 
aabaab 
aab

Sample Output2

7

Sample Input3

6 3 3 
aabaab 
aab

Sample Output3

7

Sample Explanation

所有合法方案如下：（加下划线的部分表示取出的子串）

样例一：aab aab / aab aab

样例二：a ab aab / a aba ab / a a ba ab / aab a ab / aa b aab / aa baa b / aab aa b

样例三：a a b aab / a a baa b / a ab a a b / a aba a b / a a b a a b / a a ba a b / aab a a b

HINT

题解

100分算法:

1、设状态$f[i][j][k]$为$A$串第$i$个匹配$B$串第$j$个,此时分了$k$段的方案数,$g[i][j][k]$表示$A$串前$i$个和$B$串前$j$个,此时分了$k$段的方案数;
两者之间的区别在于$f[i][j][k]$必须满足$a[i]==b[j]$。

2、转移如下:
$$f[i][j][k]=(f[i-1][j-1][k]+g[i-1][j-1][k-1])×(a[i]==b[j])$$
$$g[i][j][k]=g[i-1][j][k]+f[i][j][k]$$
类似于最长公共子序列的思想。
边界情况是$f[0][0][0]=g[0][0][0]=1$,最后的答案就是$g[n][m][k]$。

3、实现方面要用滚动数组优化，我们考虑将第一维滚动，那么初始化时还要将$f[1][0][0]=g[1][0][0]=1$，样例就很好解释为什么;

4、时间复杂度:$O(n*m*k)$,空间复杂度$O(m*k)$。

 1 #include<set>
 2 #include<map>
 3 #include<ctime>
 4 #include<cmath>
 5 #include<queue>
 6 #include<stack>
 7 #include<vector>
 8 #include<cstdio>
 9 #include<string>
10 #include<cstring>
11 #include<cstdlib>
12 #include<iostream>
13 #include<algorithm>
14 #define LL long long
15 #define Max(a,b) ((a)>(b) ? (a):(b))
16 #define Min(a,b) ((a)<(b) ? (a):(b))
17 using namespace std;
18 const int MOD=1000000007;
19 const int N=1000;
20 const int M=200;
21 
22 int n,m,K;
23 char a[N+5],b[M+5];
24 int f[2][M+5][M+5],g[2][M+5][M+5];
25 bool t;
26 
27 int main()
28 {
29     scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
30     scanf("%s%s",a+1,b+1);
31     f[0][0][0]=f[1][0][0]=g[0][0][0]=g[1][0][0]=1;
32     for (int i=1;i<=n;i++)
33     {
34 　　　　 t=!t;
35 　　　 　for (int j=1;j<=m;j++)
36   　　   　　for (int k=1;k<=K;k++)
37         　　　　f[t][j][k]=((f[!t][j-1][k]+g[!t][j-1][k-1])*(a[i]==b[j]))%MOD,
38         　　　　g[t][j][k]=(g[!t][j][k]+f[t][j][k])%MOD;
39     }
40     printf("%d\\n",g[t][m][K]);
41     return 0;
42 }