Subsequence Count 2017ccpc网络赛 1006 dp+线段树维护矩阵

Posted 2020-10-04 缄默火

Problem Description

Given a binary string S[1,...,N] (i.e. a sequence of 0‘s and 1‘s), and Q queries on the string.
There are two types of queries:
1. Flipping the bits (i.e., changing all 1 to 0 and 0 to 1) between l and r (inclusive).
2. Counting the number of distinct subsequences in the substring S[l,...,r].

 

Input

The first line contains an integer T, denoting the number of the test cases.
For each test, the first line contains two integers N and Q.
The second line contains the string S.
Then Q lines follow, each with three integers type, l and r, denoting the queries.

1≤T≤5
1≤N,Q≤105
S[i]∈{0,1},?1≤i≤N
type∈{1,2}
1≤l≤r≤N

 

Output

For each query of type 2, output the answer mod (109+7) in one line.

 

首先考虑怎么求一个01串有多少种不同的子序列

dp[i][0]表示考虑到第i位时以0结尾的不同的子序列个数

dp[i][1]表示考虑到第i位时以1结尾的不同的子序列个数

若第i+1位为1，则有：

以01为结尾的子序列个数为dp[i][0]

以11为结尾的子序列个数为dp[i][1]

只有一个1的子序列个数为1

以0为结尾的子序列个数为dp[i][0]

 

以上4种情况统计了考虑到i+1处时所有的子序列

于是有 dp[i+1][1]=dp[i][0]+dp[i][1]+1

　　　dp[i+1][0]=dp[i][0]

　　　　　　　　　　　　(1　　1　　0

（dp[i][0],dp[i][1],1）* 0　　1　　0   =(dp[i+1][0],dp[i+1][1],1)

　　　　　　　　　　　　 0　　1　　1)

 记为A矩阵。

若i+1位为0同理有：　　　　

　　　　dp[i+1][1]=dp[i][0]

　　　　dp[i+1][0]=dp[i][0]+dp[i][1]+1

　　　　对应矩阵为（记为B矩阵）

　　　　　　　　　　1　　0　　0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　1　　1　　0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　1　　0　　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

其次考虑优化的问题。将以上的两种转移视为矩阵，用线段树维护矩阵的乘积即可。

 

对于将所有0换成1,1换成0的操作而言，等价于将所有A矩阵换成B，B换成A,而A和B通过交换1,2行及1,2列可互相转换，或者说，乘以初等矩阵Fs,t  ,该矩阵的逆为自身。（记其为F）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0　　1　　0　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　0　　0

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0　　0　　1

 

 

于是有FAFFAF……FBF……=FAAB……F，或者说，将大量0换成1,1换成0的时候只需要在乘积最外面进行一次交换1,2行与1,2列的操作。

 

然而。。仍然TLE..估计是被卡了常数。心塞。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
int N,Q;
const long long int mo=1e9+7;
char s[5010];
int lazy[5050<<2];
struct Matrix{
    int n,m;
    long long a[3][3];
    Matrix (){clear();}
    void clear(){
        n=m=3;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    Matrix operator *(const Matrix &b) const{
        Matrix tmp;
        for (int i=0;i<n;++i)
            for (int j=0;j<b.m;++j)
                for (int k=0;k<m;++k)
                    tmp.a[i][j]=(tmp.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%mo;
        return tmp;
    }
};
Matrix A0,A1,E;
Matrix cnt[5050<<2];
inline void init()
{
    A0.a[0][0]=1,A0.a[0][1]=0,A0.a[0][2]=0;
    A0.a[1][0]=1,A0.a[1][1]=1,A0.a[1][2]=0;
    A0.a[2][0]=1,A0.a[2][1]=0,A0.a[2][2]=1;

    A1.a[0][0]=1,A1.a[0][1]=1,A1.a[0][2]=0;
    A1.a[1][0]=0,A1.a[1][1]=1,A1.a[1][2]=0;
    A1.a[2][0]=0,A1.a[2][1]=1,A1.a[2][2]=1;

    E.a[0][0]=1,E.a[0][1]=0,E.a[0][2]=0;
    E.a[1][0]=0,E.a[1][1]=1,E.a[1][2]=0;
    E.a[2][0]=0,E.a[2][1]=0,E.a[2][2]=1;
}
inline void Pushup(int rt)
{
    cnt[rt]=cnt[rt<<1]*cnt[rt<<1|1];
}
inline void build(int l,int r,int rt)
{
    if(l==r)
    {
        if(s[l-1]-‘0‘==0)
        {
            cnt[rt]=A0;
        }
        else cnt[rt]=A1;
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    Pushup(rt);
}
inline void change(Matrix &X)
{
    swap(X.a[0][0],X.a[1][1]);
    swap(X.a[0][1],X.a[1][0]);
    swap(X.a[2][0],X.a[2][1]);
}

inline void pushdown(int rt)
{
    if(lazy[rt])
    {
        change(cnt[rt<<1]);
        change(cnt[rt<<1|1]);
        lazy[rt<<1]^=1;
        lazy[rt<<1|1]^=1;
        lazy[rt]=0;
    }
}
inline void update(int a,int b,int l,int r,int rt)
{
    if(l>=a&&r<=b)
    {
        change(cnt[rt]);
        lazy[rt]^=1;
        return;
    }
    pushdown(rt);
    int m=(l+r)>>1;
    if(a<=m) update(a,b,lson);
    if(b>m) update(a,b,rson);
    Pushup(rt);
}
inline void Input()
{
    scanf("%d%d",&N,&Q);
    scanf("%s",s);
}
inline Matrix query(int a,int b,int l,int r,int rt)
{
    if(l>=a&&r<=b) return cnt[rt];
    pushdown(rt);
    Matrix t1=E,t2=E;
    int m=(r+l)>>1;
    if(a<=m) t1=query(a,b,lson);
    if(b>m) t2=query(a,b,rson);
    return t1*t2;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T,type,l,r;
    scanf("%d",&T);
    init();
    rep(t,1,T)
    {
        Input();
        build(1,N,1);
        rep(i,1,Q)
        {
            scanf("%d%d%d",&type,&l,&r);
            if(type==1)
            {
                update(l,r,1,N,1);
              //  rep(j,1,2*N) printf("i=%d dp%d=%lld\n",i,j,(cnt[j].a[2][0]+cnt[j].a[2][1])%mo);
            }
            else
            {
                Matrix tmp;
                tmp=query(l,r,1,N,1);
                printf("%lld\n",(tmp.a[2][0]+tmp.a[2][1])%mo);
            }
        }
    }
    return 0;
}

 

 

代码如下：