hdu-2421 Deciphering Password 数学姿势

Posted 2020-10-04 Luke_Ye

给定A,B，对于A^B的每一个因子，M为其因子的因子数的三次方求和。

容易推导得出A^B的每一个因子都是A的质因子的组合（质因子可重复利用），其因子数自然等于所使用的每个质因子的数量乘积。

假设A由质因子a1,a2,a3组合而成，对应数量为k1,k2,k3，那么A的因子数为(k1+1)*(k2+1)*(k3+1)，同理A的因子的因子数为(k1+1)*(k2+1)*k3+1,(k1+1)*k2*(k3+1),k1*(k2+1)*(k3+1),(k1+1)*k2*k3以此类推。

我们可以发现其为(1+2+3...k1+1)*(1+2+3...k2+1)*(1+2+3...k3+1)的展开。对于这里的每一项，我们可以用求和公式(n*(n+1)/2)^2来求解。

对于拆解一个数的质因数，我们只需要枚举到srqt(n)即可，因为至多只有一个质因数大于sqrt(n) n不断做除法剩下的数即是这个质因数，如果有两个质因数x1,x2大于sqrt(n)，那一定有n>=x1*x2与x1>sqrt(n) x2>sqrt(n)相悖。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const LL N = 1000005;
const LL mod = 10007;
LL cube(LL num)
{
    return (num*(num + 1) / 2)%mod*(num*(num + 1) / 2);
}
vector<LL> su;
bool vis[N];
int main() {
    //cin.sync_with_stdio(false);
    LL a,b;
    fill(vis, vis + N, true);
    vis[0] = vis[1] = false;
    for(LL i=2;i<N;i++)
        if (vis[i])
        {
            su.push_back(i);
            for (LL j = i * 2; j < N; j *= i)
                vis[i] = false;
        }
    int cas = 1;
    while (scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF)
    {
        map<LL, LL> mp;
        for (LL i = 0; i < su.size() && su[i]*su[i] <= a; i++)
        {
            while (a%su[i] == 0)
                cout << su[i] << endl, mp[su[i]]++, a /= su[i];
        }
        if (a > 1)mp[a]++;
        LL ans = 1;
        for (map<LL, LL>::iterator it = mp.begin(); it != mp.end(); it++)
        {
            it->second *= b, it->second++;
            it->second %= mod;
            //cout << it->second << endl;
            ans *= cube(it->second);
            ans %= mod;
        }
        printf("Case %d: %lld\n", cas++, ans);
        //cout << "Case " << cas++<<": ";
        //cout << ans << endl;

    }

    return 0;
}