bzoj3329Xorequ 数位dp+矩阵乘法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了bzoj3329Xorequ 数位dp+矩阵乘法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题目描述
输入
第一行一个正整数,表示数据组数据 ,接下来T行
每行一个正整数N
输出
2*T行
第2*i-1行表示第i个数据中问题一的解,
第2*i行表示第i个数据中问题二的解,
样例输入
1
1
样例输出
1
2
题解
数位dp+矩阵乘法
$x\ xor\ 3x=2x$即$x\ xor\ 2x=3x$。而亦或的运算规则为“相同为0,不同为1”,也就是说当且仅当$a\ and\ b$不为0,即有共同的位是1时,$a\ xor\ b\neq a+b$。
所以如果$x$满足条件,则$x$与$2x$没有共同的某位为1,即要求$x$没有连续的两位为1。
那么就可以考虑dp。
设$f[i]$表示$i$位数(可能包含前导零)没有连续的两位为1的数的个数,那么$f[i]$的递推式为斐波那契数列$f[i]=f[i-1]+f[i-2]$,边界条件$f[0]=1,f[1]=2$。
第一问上一个数位dp即可。
第二问直接上矩阵乘法求斐波那契数列即可。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll mod = 1000000007; struct data { ll v[2][2]; data() {memset(v , 0 , sizeof(v));} data operator*(const data &a)const { data ans; int i , j , k; for(i = 0 ; i < 2 ; i ++ ) for(j = 0 ; j < 2 ; j ++ ) for(k = 0 ; k < 2 ; k ++ ) ans.v[i][j] = (ans.v[i][j] + v[i][k] * a.v[k][j]) % mod; return ans; } }A , ANS; ll f[65] , g[65]; data pow(data x , ll y) { data ans; ans.v[0][0] = ans.v[1][1] = 1; while(y) { if(y & 1) ans = ans * x; x = x * x , y >>= 1; } return ans; } int getp(ll n) { int ans = 0; while(n) n >>= 1 , ans ++ ; return ans; } void init() { int i; A.v[1][0] = A.v[0][1] = A.v[1][1] = 1; f[0] = 1 , f[1] = 2; for(i = 2 ; i <= 62 ; i ++ ) f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]; } ll calc(ll n , int len) { if(len <= 1) return n + 1; else if(!(n & (1ll << (len - 1)))) return calc(n , len - 1); else if(n & (1ll << (len - 2))) return f[len - 1] + calc((1ll << (len - 2)) - 1 , len - 1); else return f[len - 1] + calc(n - (1ll << (len - 1)) , len - 1); } int main() { init(); int T; scanf("%d" , &T); while(T -- ) { ll n; scanf("%lld" , &n); printf("%lld\n" , calc(n , getp(n)) - 1); printf("%lld\n" , pow(A , n + 1).v[1][1]); } return 0; }
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