AVL树

Posted 2020-10-04 学习笔记

1，AVL树又称平衡二叉树，它首先是一颗二叉查找树，但在二叉查找树中，某个结点的左右子树高度之差的绝对值可能会超过1，称之为不平衡。

     而在平衡二叉树中，任何结点的左右子树高度之差的绝对值会小于等于 1。

2，为什么需要AVL树呢？在二叉查找树中最坏情况下查找某个元素的时间复杂度为O(n)，而AVL树能保证查找操作的时间复杂度总为O(logn)。。

3.avl树通过单旋转或者双旋转来实现保证树的平衡

avl树和伸展树有很多相似之处，可以查看：伸展树的特点；

 

AVL树

AVL树是根据它的发明者G. M. Adelson-Velskii和E. M. Landis命名的。它是一种特殊的二叉搜索树。AVL树要求: 任一节点的左子树深度和右子树深度相差不超过1

(空树的深度为0。注意，有的教材中，采用了不同的深度定义方法，所以空树的深度为-1)

 

下面是AVL树:

 

AVL树

AVL树的特性让二叉搜索树的节点实现平衡(balance)：节点相对均匀分布，而不是偏向某一侧。因此，AVL树的搜索算法复杂度是log(n)的量级。

我们在二叉搜索树中定义的操作，除了插入，都可以用在AVL树上 (假设使用懒惰删除)。如果进行插入操作，有可能会破坏AVL树的性质，比如:

 

插入2: 破坏AVL树

观察节点5，它的左子树深度为2，右子树深度为0，所以左右两个子树深度相差为2，不再是AVL树。由于2的加入，从节点6，1，5，3到2的层数都增加1。6, 1, 5节点的AVL性质都被破坏。如果从节点2向上回溯，节点5是第一个被破坏的。从节点3开始的子树深度加1，这是造成6, 1, 5的AVL性质被破坏的本质原因。我们将5和3之间的路径画成虚线(就好像挂了重物，边被拉断一样)。

 

我们可以通过单旋转(single rotation)，调整以5为根节点的子树，来修正因为插入一个元素而引起的对AVL性质的破坏。如下:

 

Single rotation: 左侧超重，向右转

通过单旋转，3成为新的根节点，2,5称为3的左右子节点。子树重新成为AVL树。该子树的深度减小1，这将自动修正2带给节点6,1的“超负荷”。

 

单旋转效果如下：

 

 向右单旋转

特别要注意的是，为了保持二叉树的性质，子树B过继给了节点5。

向左单旋转与之类似。作为练习，可以尝试绘制向左单旋转的示意图。

 

但如果插入的节点不是2，而是4，会是如何呢？

 

插入4

尝试单旋转，会发现无法解决问题。以5为根节点的子树向右单旋转后，树将以3为根节点，4,5为子节点。4比3大，却是3的左子节点，显然，这依然不符合二叉搜索树的性质。但基于和上面相似的原则(调整以5为根节点的树)，我们发现有一个简单的解决方式：

 

 

double rotation

 

上面的操作被称作双旋转(double rotation)。双旋转实际上是进行两次单旋转: 4为根节点的子树先进行一次向左的单旋转，然后将5为根节点的子树进行了一次向右的单旋转。这样恢复了树的ACL性质。

 

对于AVL树，可以证明，在新增一个节点时，总可以通过一次旋转恢复AVL树的性质。

当我们插入一个新的节点时，在哪里旋转？是用单旋转还是双旋转?

 

我们按照如下基本步骤进行：

1. 按照二叉搜索树的方式增加节点，新增节点称为一个叶节点。

2. 从新增节点开始，回溯到第一个失衡节点(5)。

    (如果回溯到根节点，还没有失衡节点，就说明该树已经符合AVL性质。)

3. 找到断的边(5->3)，并确定断弦的方向(5的左侧)

4. 以断边下端(3)为根节点，确定两个子树中的哪一个深度大(左子树还是右子树)。

    (这两棵子树的深度不可能相等，而且深度大的子树包含有新增节点。想想为什么)

5. 如果第2和第3步中的方向一致(都为左或者都为右)，需要单旋转以失衡节点为根节点的子树。

    否则，双旋转以失衡节点为根节点的子树。