整数划分问题

Posted 2020-10-04 不搞事情和咸鱼有什么区别

1.将n个不同的数字组成的集合划分成若干个元素每个元素不大于m的集合：

1).若是划分多个可重复整数：

        dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]  dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的方案数。
        则划分数可以分为两种情况:
        a.划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
        b.划分中至少有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m];
2).若是划分多个不同的整数：
        dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1]   dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
        同样划分情况分为两种情况：
        a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
        b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分，
        并且每一个数不大于m-1，故划分数为 dp[n-m][m-1]

2.将n划分成k个数的划分法：

方法可以分为两类：dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1]; // 这里要注意可以重复 对于不可重复的请移步 http://www.cnblogs.com/z1141000271/p/7440714.html

        第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k]

        第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先那出一个 1 作为单独的1份，剩下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]

另一种方式：

        dp[i,j]表示将i分成j份的方案数。

        dp[i,j]:=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+dp[i-j,3]+…+dp[i-j,j-1]+dp[i-j,j]; //

        时间复杂度是n*k^2。O(n*k)的方法：

        由于，

        dp[i,j]=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j];

        dp[i-1,j-1]=dp[(i-1)-(j-1),1]+dp[(i-1)-(j-1),2]+…+dp[(i-1)-(j-1),j-1]

        =dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j-1];

        因此,

        dp[i,j]=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j-1]+dp[i-j,j]

         =dp[i-1,j-1]+dp[i-j,j];

hzwer思路 Orz

        就是它这个分法比较特殊
        不是一堆一堆分的
        而是每次把每一堆+1，或者把空堆变成1 

拓展：还有一个划分为不超过k组的问题

        就是看成与本题类似，但是可以有元素为0
        得到：dp[i,j]=dp[i-j,j]+dp[i,j-1]
        区别就是dp[i,j-1]中i没有-1
        参照hzwer的思想，因为元素可以为0，就算某一堆为空堆，总数也不需要-1

感触比较深的是这里的分类思想，比如第一种分成都<=m的情况以及至少存在一个数字大于等于m的情况。