[POJ 3734] Blocks 指数型生成函数

Posted 2020-10-04

题意

　　有红, 黄, 蓝, 绿四种颜色的砖头.

　　现在你要将 $n$ 个砖头放成一排.

　　蓝色, 绿色的砖头的个数必须为偶数.

　　问最终放置的方案数.

　　n <= 10 ^ 9 .

 

分析

　　构建指数型生成函数.

　　　　$R(x) = Y(x) = \sum_{k = 0} ^ {\infty} \frac{x ^ k}{k !} = e ^ x$ .

　　　　$B(x) = G(x) = \sum_{k = 0} ^ {\infty} \frac{x ^ {2k}}{(2k)!} = \frac{e ^ x + e ^ {-x}}{2}$ .

 

　　排列数为四种方案数的二项卷积, 所以排列的指数型生成函数等于四个指数型生成函数的卷积.

　　$F(x) = e ^ {2x} \frac{(e ^ x + e ^ {-x}) ^ 2}{4} = \frac{e ^ 4x + 2 e ^ {2x} + 1}{4}$ .

　　将 $e$ 展开, $\frac{x ^ k}{k!}$ 的系数为 $2 ^ {n - 1} + 4 ^ {n - 1}$ .

 

实现

 1 #include <cstdio>
 2 const int MOD = 10007;
 3 int main(void) {
 4     int nT; scanf("%d", &nT);
 5     for (int i = 1; i <= nT; i++) {
 6         int n; scanf("%d", &n);
 7         n = (n-1) % (MOD-1);
 8         int sum = 1;
 9         for (int i = 1; i <= n; i++)
10             sum = sum * 2 % MOD;
11         printf("%d\n", (sum + sum * sum) % MOD);
12     }
13     return 0;
14 }