扩展欧几里得

Posted 2020-10-04 青石巷

声明：本文中的变量若非特别说明，均指整数。

定义：

扩展欧几里得算法是用于解决一类形如求解a*x+b*y=c中(x,y)，或者形如a*x≡b(mod c)中x的问题。

引理（裴蜀定理）：

不定方程a*x+b*y=gcd(a,b)（x,y为变量）一定有无数个解。

证明：

先证明该方程有解。

将欧几里得算法倒推上去。因为欧几里得算法总会结束，所以方程一定有解。

设a=b*p+q（0<=q<b），则gcd(a,b)=gcd(b,q)。

设b*x‘+q*y‘=gcd(b,q)，则有b*x‘+(a-b*p)*y‘=gcd(b,q)=gcd(a,b)。

整理得a*y‘+b*(x‘-p*y‘)=gcd(a,b)。

所以a*x+b*y=gcd(a,b)可由b*x‘+q*y‘=gcd(b,q)推得。

当q=0时，gcd(b,q)=b，此时(1,0)即为解，算法结束。

又因为算法总会递归到q=0的情况（欧几里得算法），所以该过程一定会结束，方程一定有解。

再证明该方程有无数个解。

设(x,y)为原方程的一个解，则有a*x+b*y=gcd(a,b)，则有a*(x+k*b)+b*(y-k*a)=gcd(a,b)。

所以形如(x+k*b,y-k*a)的二元组均为该方程的解，由k的任意性可知，该方程有无数个解。

原理：

由裴蜀定理，若c不是gcd(a,b)的倍数，直接返回无解，否则设c=gcd(a,b)*p，根据裴蜀定理求得一个解(x,y)，则(p*x,p*y)是该方程的解。

有时题目为了方便判定，会特别规定(x,y)中x或y为最小正整数，此时根据无数个解的求法调整即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
　　 if(!b){x=1;y=0;return;}
　　 int p=a/b,q=a%b,u,v;
　　 exgcd(b,q,u,v);
　　 x=v;y=u-p*v;
}
int main()
{
 　　int a,b,c,x,y,tmp;
 　　scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);//ax+by=c
　　 tmp=gcd(a,b);if(c%tmp){cout<<"No Solution\n";return 0;}
 　　exgcd(a,b,x,y);x=x*c/tmp;y=y*c/tmp;
　　 x=(b+x%b)%b;//x为最小正整数
 　　printf("%d %d\n",x,y);
 　　return 0;
}