连通图的一些性质

Posted 2020-10-04

　　基本定义：对于无向图G=(V,E)，若对于V中任意结点对v,u，v与u之间总是有一条路径（由E中的若干条边组成）相连接，那么称G是连通图。

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命题1：对于连通图G=(V,E)，必然有|E|>=|V|-1。

　　证明：首先要认清一个图G=(V,E)必然是由若干个互不关联的子连通图组成的。继而，需要证明每次向图中增加一条边，或者不影响其互不关联的子连通图的数目（这条边落在了一个子连通图的内部），或者使得原图中两个子连通图相互连通，从而新的图中互不关联的子连通图的数目较原图减少1。

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命题2：对于连通图G=(V,E)，若|E|=|V|-1，则G中无环路（无向图中的环路必须拥有不少于三条边）。

　　证明：需要证明对于一个带环连通图，移除环中任意一条边，图依旧连通，而根据命题1知道图连通的必要条件是|E|>=|V|-1，因此可以推导出原图至少有|V|条边。从而利用反证法证明命题的成立。

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命题3：对于连通图G=(V,E)，若|E|>=|V|，则G中必定有环路。

　　证明：首先将V中的结点分为两组，S和U，S中的结点称为选择结点，而U中的结点称为未选择结点。一开始S为空而U=V。之后每次循环都选择一条边(s,u)，其中s属于S，u属于U，将u选择，并从U中移除加入到S中，直到S=V。假如上面所述的循环中无法找到符合条件的边，那么我们就可以将图G切分为包含结点集S和U的互不关联的子连通图，这与G是全连通的前提相悖。这样一直到循环结束，我们总共选择了|V|-1条边，而实际上原图G只需要这被选择的|V|-1条边就可以全连通。而向图G中再增加任意一条边(x,y)都会造成环的出现，这是由于x与y在|V|-1条边时连通故已经存在一条路径，而新增的边与路径组合形成了一个环。