HDU 2065 红色病毒 指数型母函数+泰勒公式

Posted 2020-10-03 #WoNderlAnd#

医学界发现的新病毒因其蔓延速度和Internet上传播的"红色病毒"不相上下,被称为"红色病毒",经研究发现,该病毒及其变种的DNA的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。
现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:
(1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;
(2) A出现偶数次(也可以不出现);
(3) C出现偶数次(也可以不出现);
计算满足条件的字符串个数.
当N=2时,所有满足条件的字符串有如下6个:BB,BD,DB,DD,AA,CC.
由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.
Input每组输入的第一行是一个整数T,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数N(1<=N<2^64),当T=0时结束.
Output对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.Sample Input

4
1
4
20
11
3
14
24
6
0

Sample Output

Case 1: 2
Case 2: 72
Case 3: 32
Case 4: 0

Case 1: 56
Case 2: 72
Case 3: 56

---

 

A,C只能出现偶数次，B,D可出现任意次，根据指数型母函数的知识可以列出如下公式：

f(x)=（1+x²/2!+x⁴/4!+……xⁿ/n!）²*(1+x+x²/2!+x³/3!+x⁴/4!+……xⁿ/n!)²

所要求解的答案就是xⁿ的系数，那么如何求系数呢……

还记得高数么，还记得有个背了好久的公式叫做泰勒公式么，没错，就是他（忘记的请自行百度……）

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!...+x^n/n!;

e^(-x)=1-x/1!+x^2/2!-x^3/3!+...-...;

（e^x+e^(-x)）/2=1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!...+...;

f(x)=e^2x*((e^x+e^x)/2)²=e^2x(e^2x+2+e^-2x)/4=(e^4x+2e^2x+1)/4

     =1/4 * (1+(4x)+(4x)²/2!+(4x)³/3!+……(4x)ⁿ/n!+2[1+(2x)+(2x)²/2!+(2x)³/3!+……(2x)ⁿ/n!]);

n的系数=(4ⁿ /n!+2*2ⁿ/n!)/4=4^n-1+2^n-1

然后直接快速幂……嗯……

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll t,n,ans;
ll mpow(ll x, ll n)
{
    ll res = 1;
    while (n > 0)
    {
        if (n & 1) res = res*x % 100;
        x = x*x % 100;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    while (scanf("%lld", &t) != EOF&&t)
    {
        ll crt = 0;
        while (t--) {
            crt++;
            scanf("%lld", &n);
            ans = (mpow(4, n - 1) + mpow(2, n - 1)) % 100;
            printf("Case %lld: %lld\n",crt,ans );
        }
    }
    return 0;
}