UVA - 11354 Bond（最小生成树+LCA+瓶颈路）

Posted 2020-10-03 SomnusMistletoe

题意：N个点，M条路，每条路的危险度为路上各段中最大的危险度。多组询问，点s到点t的所有路径中最小的危险度。

分析：

1、首先建个最小生成树，则s到t的路径一定是危险度最小的。

原因：建最小生成树的最后一步，如果有两个相等的边可以选择，然后将两个连通块连在一起。

那不管选择哪个边，对于分别位于两个连通块的两点来说，这条边都是必经之路，而这个必经之路是这两点路径的危险度中最大的，起决定作用，所以选哪个是一样的。

2、利用lca，在找s和t最近公共祖先的过程中，不断取两者路径中的最大危险度即可。

3、d[k][v] 为点v到它向上走2^k步所到的顶点的路径中最大的危险度。

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#include<cctype>
#include<cmath>
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#include<sstream>
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#include<deque>
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#include<list>
#define lowbit(x) (x & (-x))
const double eps = 1e-8;
inline int dcmp(double a, double b){
    if(fabs(a - b) < eps) return 0;
    return a > b ? 1 : -1;
}
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int INT_INF = 0x3f3f3f3f;
const int INT_M_INF = 0x7f7f7f7f;
const LL LL_INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const LL LL_M_INF = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const int dr[] = {0, 0, -1, 1, -1, -1, 1, 1};
const int dc[] = {-1, 1, 0, 0, -1, 1, -1, 1};
const int MOD = 1e9 + 7;
const double pi = acos(-1.0);
const int MAXN = 50000 + 10;
const int MAXT = 100000 + 10;
using namespace std;
struct Node{
    int a, b;
    Node(int aa, int bb):a(aa), b(bb){}
};
int N, M;
int fa[MAXN];
int d[20][MAXN];
int depth[MAXN];
int parent[20][MAXN];
vector<Node> G[MAXN];
int Find(int x){
    return fa[x] = (fa[x] == x) ? x : Find(fa[x]);
}
struct Edge{
    int x, y, d;
    void read(){
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &d);
    }
    bool operator < (const Edge& rhs)const{
        return d < rhs.d;
    }
}num[MAXT];
void kruskal(){
    for(int i = 0; i < M; ++i){
        int tmpx = Find(num[i].x);
        int tmpy = Find(num[i].y);
        if(tmpx == tmpy) continue;
        G[num[i].x].push_back(Node(num[i].y, num[i].d));
        G[num[i].y].push_back(Node(num[i].x, num[i].d));
        if(tmpx < tmpy) fa[tmpy] = tmpx;
        else fa[tmpx] = tmpy;
    }
}
void dfs(int v, int fa, int deep){
    parent[0][v] = fa;
    depth[v] = deep;
    int len = G[v].size();
    for(int i = 0; i < len; ++i){
        if(G[v][i].a != fa){
            d[0][G[v][i].a] = G[v][i].b;
            dfs(G[v][i].a, v, deep + 1);
        }
    }
}
void LCA_init(){
    dfs(1, -1, 0);
    for(int k = 0; k + 1 < 20; ++k){
        for(int v = 1; v <= N; ++v){
            if(parent[k][v] < 0) parent[k + 1][v] = -1;
            else{
                parent[k + 1][v] = parent[k][parent[k][v]];
                d[k + 1][v] = max(d[k][v], d[k][parent[k][v]]);
            }
        }
    }
}
int lca(int u, int v){
    int ans = 0;
    if(depth[u] > depth[v]) swap(u, v);
    for(int k = 0; k < 20; ++k){
        if(((depth[v] - depth[u]) >> k) & 1){
            ans = max(ans, d[k][v]);
            v = parent[k][v];
        }
    }
    if(u == v) return ans;
    for(int k = 19; k >= 0; --k){
        if(parent[k][u] != parent[k][v]){
            ans = max(ans, d[k][u]);
            ans = max(ans, d[k][v]);
            u = parent[k][u];
            v = parent[k][v];
        }
    }
    ans = max(ans, d[0][u]);
    ans = max(ans, d[0][v]);
    return ans;
}
int main(){
    bool flag = true;
    while(scanf("%d%d", &N, &M) == 2){
        memset(parent, -1, sizeof parent);
        memset(d, 0, sizeof d);
        memset(depth, 0, sizeof depth);
        for(int i = 1; i < MAXN; ++i){
            fa[i] = i;
            G[i].clear();
        }
        for(int i = 0; i < M; ++i){
            num[i].read();
        }
        sort(num, num + M);
        kruskal();
        LCA_init();
        int Q;
        scanf("%d", &Q);
        if(flag) flag = false;
        else printf("\n");
        while(Q--){
            int s, t;
            scanf("%d%d", &s, &t);
            printf("%d\n", lca(s, t));
        }
    }
    return 0;
}