数据结构—fibonacci数列的复杂度

Posted 2020-10-03

开始第二遍复习数据结构，决定把一些有意思的题目做个简单的小结，第一个遇见的是这个经典的Fibonacci数列，题目要求是求这个数列的时间复杂度，对于这个数列，我也不作过多的介绍，下面是对数列的几种简单的实现

1.初始版

long fibonacci1(int n){
    if(n==0)
        return 0;
    if(n==1)
        return 1;
    if(n>1){
        return fibonacci1(n-1)+fibonacci1(n-2);
    }
}//递归

这种写法是每一个初学者第一次接触到递归时都会写的，这是最为简单的写法，但也是递归效率最低的写法，对于计算Fibonacci（3）来说，就需要计算2次Fibonacci（1），递归调用过多，时间复杂度T(n)>O(2^n)，所以，我们在求一个较大的Fibonacci数的时候可以想办法使得算法不用重复计算低阶的Fibonacci数，这时候我们可以使用一个简单的数组来存放已经求出来的Fibonacci数，这样就可以得到2.0版本了

2.加强版

long fibonacci2(int n){
    long temp[1000]={0};
    if(n==0){
        return 0;
    }
    if(n==1){
        return 1;
    }
    if(n>1){
       if(temp[n]!=0)
        return i[n];
       else {
        temp[n]=fibonacci2(n-1)+fibonacci2(n-2);
        return i[n];
       }
    }
}//递归2.0

这个里面我们使用temp数组对每一个递归求的数字进行存放，减少了递归时候的计算，这个时候的时间复杂度降到了O(n)，但是，对于一个大的Fibonacci数，这个递归势必会引起栈的溢出，所以我们还可以尝试一下使用非递归从小到大的计算Fibonacci数列

3.非递归版

long fibonacci3(int n){
    long temp[1000]={0};
    if(n>0)
        temp[1]=1;
    int m;
    for(m=2;m<n;m++){
        temp[m]=temp[m-1]+temp[m-2];
    }
    long result = temp[n];
    return result;
}//非递归

因为是使用C语言进行编译而GCC不允许使用for(int ; ;)的语法，所以代码看起来有点奇怪，这个是非递归版本，每一个temp[i]存放的是Fibonacci（i）的值，时间复杂度也是O(n)；

4.非递归加强版，这个是我在网上查资料看到的一种方法

Fibonacci数列可以改为矩阵乘法的形式，这样我们很容易求得它的通项公式，这样一来，这个问题就转而成为了一个求矩阵乘法的问题了。具体的过程可以参考其他博客。