DP的四边形优化

Posted 2020-10-03 范仁义

DP的四边形优化

一、进行四边形优化需要满足的条件

　　1、状态转移方程如下：

　　　　

　　　　　　m(i,j)表示对应i,j情况下的最优值。

　　　　　　w(i,j)表示从i到j的代价。

　　　　　　例如在合并石子中：

　　　　　　　　m(i,j)表示从第i堆石子合并到j堆石子合并成一堆的最小代价。

　　　　　　　　w(i,j)表示从第i堆石子到第j堆石子的重量和。

　　2、函数w满足区间包含的单调性和四边形不等式

　　　　　　　

 

二、满足上述条件之后的两条定理

　　1、假如函数w满足上述条件，那么函数m 也满足四边形不等式，即

　　　　

　　　　例如:

　　　　　　　　假如有：w(1, 3) + w(2, 4) £ w(2, 3) + w(1, 4)，

　　　　　　　　m(1, 3) + m(2, 4) £ m(2, 3) + m(1, 4)，

 

　　2、假如m(i, j)满足四边形不等式，那么s (i, j)单调，即：

　　　　

 

三、如何使用

　　运用上面两条定理，可以将最上面的DP状态转移方程变为如下：

　　　　

 

四、具体应用

　　用四边形优化将合并石子(直线型)的时间复杂度化为 O(n*n)

　　

 1 #include <iostream>
 2 #include <string.h>
 3 #include <stdio.h>
 4 
 5 using namespace std;
 6 const int INF = 1 << 30;
 7 const int N = 1005;
 8 
 9 int dp[N][N];
10 int p[N][N];
11 int sum[N];
12 int n;
13 
14 int getMinval()
15 {
16     for(int i=1; i<=n; i++)
17     {
18         dp[i][i] = 0;
19         p[i][i] = i;
20     }
21     for(int len=1; len<n; len++)
22     {
23         for(int i=1; i+len<=n; i++)
24         {
25             int end = i+len;
26             int tmp = INF;
27             int k = 0;
28             for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++)
29             {
30                 if(dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1] < tmp)
31                 {
32                     tmp = dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1];
33                     k = j;
34                 }
35             }
36             dp[i][end] = tmp;
37             p[i][end] = k;
38         }
39     }
40     return dp[1][n];
41 }
42 
43 int main()
44 {
45     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
46     {
47         sum[0] = 0;
48         for(int i=1; i<=n; i++)
49         {
50             int val;
51             scanf("%d",&val);
52             sum[i] = sum[i-1] + val;
53         }
54         printf("%d\\n",getMinval());
55     }
56     return 0;
57 }

 

上述代码具体在内存中的运行过程：