noi2009变换序列

Posted 2020-10-03 范仁义

noi2009变换序列

一、题目

1843 变换序列

 

2009年NOI全国竞赛

 时间限制: 1 s

 空间限制: 128000 KB

 题目等级 : 大师 Master

题解

 

 

 

题目描述 Description

对于N个整数0，1，…，N-1，一个变换序列T可以将i变成Ti，其中：Ti∈{0，1，…，N-1}且Ui=1 to n-1 {Ti}={0，1，…，N-1}。任意x，y∈{0，1，…，N-1}，定义x和y之间的距离D(x，y)=min{|x-y|，N-|x-y|}。给定每个i和Ti之间的距离D(i，Ti)，你需要求出一个满足要求的变换序列T。如果有多个满足条件的序列，输出其中字典序最小的一个。

说明：对于两个变换序列S和T，如果存在p<N，满足：对于i=0，1，&hellip;，p-1，Si=Ti且Sp<Tp，我们称S比T字典序小。

输入描述 Input Description

输入文件中的第一行为一个整数N，表示序列的长度。

接下来的一行为N个整数Di，其中：Di表示i和Ti之间的距离。

输出描述 Output Description

如果至少存在一个满足要求的变换序列T，则输出一行为N个整数，表示你计算得到的字典序最小的T；否则输出&ldquo;No Answer&rdquo;（不含引号）。

输出文件中相邻两个数字之间用一个空格分开，行末不包含多余空格。

样例输入 Sample Input

5

1 1 2 2 1

样例输出 Sample Output

1 2 4 0 3

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于30%的数据，满足：N<=50；

对于60%的数据，满足：N<=500；

对于100%的数据，满足：N<=10000。

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大陆地区 NOI全国竞赛 2009年

 

二、分析

1、题目描述：

我现在简要述说一下这一题的意思：题目的意思就是给出x对y的对应关系：，现在给出D（x，y）和x，求y，并且要求字典序最小的y。（x这组数是从0到n-1，y这组数属于0到n-1）

 

下面分析一下样例就更加方便理解这个题目了：

X	0	1	2	3	4
D（x，y）	1	1	2	2	1
Y	1	2	4	0	3

表一

样例输入中给了n为5，，所以表一第一行x的值也是从0到4。表一的第二行D（x，y）就是输入数据的x，y的关系。最后需要我们求的就是表一第三行的y的数据。

我们可以看到上表中的（每列）每组x，y，D（x，y）都是满足关系，比如x=0，D（x，y）=1，y=1这一列，

|x-y|=1，N-|x-y|=4，故D（x，y）=1，所以关系成立，后面的以此类推。

2、题目思考：

我们在仔细来看一下关系式，发现对于这样的一个关系式，我们知道D（x，y）和x，求y的话，y最多有四个值，不过其实仔细拿实例出来分析之后，就发现这四个值是可以变成两个值的。

看到题目，发现题目是一个赤裸裸的二分匹配。这个题目可以用匈牙利算法来做，匈牙利算法的时间复杂度是O(nm)，在这里是完全ok的。

这个题目还有另外一个难点，就是要求字典序最小的y，其实求最小的y可以在寻找交错路（匹配关系）的时候倒序寻找，不过这样做的时候要注意，在存边关系的连接表的时候要注意从小往大存，确保从字典序小的边找起。

因为如果正序查找，按照匈牙利算法的算法规则，那么一定是找到的字典序最大的那个。

问题：求二分图最大匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)

3、总结：

总结：其实这个题目就是二分匹配中的匈牙利算法，套用下匈牙利的模板，再想好怎么输出字典序最小的y就ok了。

 

三、代码

 1 #include<iostream>
 2 #include<iomanip>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstring>
 6 #include<cstdlib>
 7 #include<algorithm>
 8 #include<queue>
 9 #include<map>
10 #define MAXN 10010
11 using namespace std;
12 
13 
14 
15 int graph[MAXN][2];//每个点最多连出2条边，存边时保证graph[i][0]
16 
17 int vis[MAXN];//表示节点是否被访问
18 int match[MAXN];//Y集合中的点i与X集合的match[i]匹配
19 int ans[MAXN];//用于输出结果
20 int n;
21 
22 //用来构建关系，确保字典序小的存在前面
23 void addedge(int i,int ver)
24 {
25    if(graph[i][0]<0)
26    {
27        graph[i][0]=ver;
28        return;
29    }
30    else if(graph[i][0]>ver)
31         {
32            graph[i][1]=graph[i][0];
33            graph[i][0]=ver;
34         }
35         else graph[i][1]=ver;
36 }
37 //匈牙利算法中的寻找交错路
38 bool crosspath(int ns)
39 {
40    int j,nt;
41    for(j=0;j<=1;j++)//每个点优先匹配编号较小的点（graph[i][0]
42    {
43        nt=graph[ns][j]; if(nt<0) continue;
44        if(vis[nt]) continue;
45        vis[nt]=1;
46        if(match[nt]<0||crosspath(match[nt]))
47        {
48            match[nt]=ns;
49            return true;
50        }
51    }
52    return false;
53 }
54 //匈牙利算法倒叙从每个点找交错路，确保求出最小字典序y
55 int find()
56 {
57    memset(match,128,sizeof(match));
58    memset(vis,0,sizeof(vis));
59    int i,tot=0;
60    for(i=n-1;i>=0;i--)//倒叙从每个点找交错路
61    {
62        if(crosspath(i)) tot++;
63        memset(vis,0,sizeof(vis));
64    }
65    return tot;
66 }
67 
68 
69 
70 int main()
71 {
72     //freopen("in.txt","r",stdin);
73     //输入数据以及确定每个D（x，y）和x对应的y，用于构造二分图
74     int i,qh,l,r;
75     scanf("%d",&n);
76     memset(graph,128,sizeof(graph));
77     for(i=0;i<n;i++)
78     {
79        scanf("%d",&qh);//qh为读入的d[i]，从i向i+d[i]，i-d[i]连边（要取模）
80        l=((i-qh)%n+n)%n;
81        r=((i+qh)%n+n)%n;
82        addedge(i,l);
83        if(r!=l) addedge(i,r);
84     }
85     if(find()<n)//未能完全匹配则无解。
86     {
87        printf("No Answer");
88        exit(0);
89     }
90     //统计答案输出。
91     for(int i=0;i<n;i++) ans[match[i]]=i;
92     printf("%d",ans[0]);
93     for(int i=1;i<n;i++) printf(" %d",ans[i]);
94     return 0;
95 }