P1073 最优贸易

Posted 2020-10-03 范仁义

P1073 最优贸易

题目描述

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个

城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分

为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价

格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息

之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城

市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的

过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方

式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另

一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定

这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路

为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3

号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格

买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号

以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的

数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城

市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，

表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市

y 之间的双向道路。

 

输出格式：

 

输出文件 trade.out 共 1 行，包含 1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，

则输出 0。

 

输入输出样例

输入样例#1：

5 5 
4 3 5 6 1 
1 2 1 
1 4 1 
2 3 2 
3 5 1 
4 5 2 

输出样例#1：

5

说明

【数据范围】

输入数据保证 1 号城市可以到达 n 号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市

水晶球价格≤100。

NOIP 2009 提高组 第三题

 

二、分析

显然这道题目你只要找到任何路径上的最大值，最小值就好了； 
那么对于点k 
我们要知道1~k里面的最小值卖入； 
还要知道k~里面的最大值卖出； 
那么我们可以用spfa去求； 
第一遍跑出min数组后去反向图跑max数组； 
这样就好了； 
这道题目用缩点进行dp也可以；

 

首先能够买进卖出的地点一定与起点和终点连通 
我们可以从起点正向SPFA找出在可以走到的范围内能够买进的最小代价，然后从终点反向BFS找出哪些点能够走到终点，最后的答案是：

max(本地代价[i]-买进最小代价[i])（i能够走到终点）

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int oo=1e9;
 4 int q[1000001]={0},c[100001];
 5 bool vis[100001]={0},visf[100001]={0};
 6 int n,m,a[100001];
 7 int nedge=0,p[1000001],nex[1000001],head[100001];
 8 int nedgef=0,pf[1000001],nexf[1000001],headf[100001];
 9 inline void addedge(int a,int b){
10     p[++nedge]=b;nex[nedge]=head[a];
11     head[a]=nedge;
12 }
13 inline void addedgef(int a,int b){
14     pf[++nedgef]=b;nexf[nedgef]=headf[a];
15     headf[a]=nedgef;
16 }
17 inline void spfa(){
18     for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=oo;
19     vis[1]=1;q[1]=1;
20     int l=1,r=1;
21     while(l<=r){
22         int now=q[l++];
23         for(int k=head[now];k;k=nex[k]){
24             int t=min(c[p[k]],min(c[now],a[now]));
25             if(c[p[k]]>t){
26                 c[p[k]]=t;
27                 if(!vis[p[k]]){
28                     q[++r]=p[k];
29                     vis[p[k]]=1;
30                 }
31             }   
32         }
33         vis[now]=0;
34     }
35 }
36 inline void bfs(){
37     memset(q,0,sizeof q);
38     int l=1,r=1;q[1]=n;
39     while(l<=r){
40         int now=q[l++];
41         for(int k=headf[now];k;k=nexf[k])if(!visf[pf[k]]){
42             q[++r]=pf[k];
43             visf[pf[k]]=1;
44         }
45     }
46 }
47 int main()
48 {
49     scanf("%d%d",&n,&m);
50     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
51     for(int i=1;i<=m;i++){
52         int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
53         addedge(x,y);addedgef(y,x);
54         if(z==2)addedge(y,x),addedgef(x,y);
55     }
56     spfa();bfs();
57     int ans=0;
58     for(int i=1;i<=n;i++)if(visf[i])ans=max(ans,a[i]-c[i]);
59     printf("%d",ans);
60     return 0;
61 }