stoer-wagner算法小记
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了stoer-wagner算法小记相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
首先是当年stoer和wagner两位大佬发表的关于这个算法的论文：A Simple Min-Cut Algorithm
直接上算法部分：
分割线 begin
在这整篇论文中，我们假设一个普通无向图G=(V,E)，其中每条边e都有一个正实数权值w(e)。
如果我们知道：怎样找到两个节点s,t，以及怎样得到对于s-t的最小割，我们就几乎解决了整个问题：
定理2.1：
设s和t是图G中的两个节点，设G/{s,t}是合并s和t后得到的图，
则图G的全局最小割可以通过“图G对于s-t的最小割”和“图G/{s,t}的全局最小割”得到。
定理说明：
若图G存在一个全局最小割，使得s和t被分割，那么，图G的s-t最小割就等于图G的全局最小割。
否则（即全局最小割没有分割s和t），图G的全局最小割就等于图G/{s,t}的全局最小割。
因此，我们可以使用一个寻找任意s-t最小割的程序来构建一个递归算法，从而寻找一个图的全局最小割。
下面的算法（使用一些骚操作搜索方法），可以产生我们想得到的s-t最小割。
MinimumCutPhase(G,w,a) //分阶段(phase)，每个阶段都产生相应的当前阶段最小割
{
A←{a}
while( A ≠ V )
{
选取“最紧密相连的点”加入A
}
记录当前阶段的割，并且合并最后加入的两个点
}
呵，听起来就很玄乎，什么玩意儿呢，下面有解释。
A是作为V的一个子集，开始时是空集，我们任取一个点，加入到A中，然后通过某个规则不断地往A中加入点，直到A == V为止，那是什么规则呢？
在每一步的加点操作中，我们选择集合(V - A)中和A“最紧密相连的点”加入A，那什么是“最紧密相连的点”呢？
设：点y∈ V - A ，且点y为与集合A直接相连的点，所有点y的集合为Y；
所有与集合A直接相连的边的权重总和为w(A,y)；
则：“最紧密相连的点” z 满足： z ∈ Y，并且w(A,z)为所有w(A,y)中最大的。
通俗的说，就是V - A集合里，找一个直接与A相连的点，这个点是 Σ(该点所有与A直接相连的边的权值) 最大的那个。
（不难看出，这是一种类似于prim算法生成类似最大生成树的算法）
在我们不断往A加点的过程中，记录下最后加入A的两个点，记为s和t，对这两个点进行合并操作(merge)：
删除点s和点t，加入新的点u作为代替，所有原本从s或t点出发的边（edge< s , t >除外，这条边删除；并且设这些边到达的点为x），都用一条新的edge< u , x >代替；
并且 edge< u , x >.weight = edge< s , x >.weight + edge< t , x >.weight ; (若某条边不存在，则定义其weight=0)
（当然需要注意的是，所有讨论都是建立在无向图上，故这里的出发、到达不代表这条边的方向，只是单纯描述该边的两个端点）
然后，我们把当前分割s和t的割（cut），叫做阶段割（the-cut-of-phase），不难得到，阶段割等于w(A,t) （注意，此处的集合A表示加入点t前的集合A）；
then，所有阶段割中最小的，即本算法的结果，即我们想求的全局最小割。
MinimumCut(G,w,a)
{
while(|V| > 1)
{
MinimumCutPhase(G,w,a)
if(阶段割 < 当前全局最小割) 当前全局最小割 = 阶段割
}
}
最后，注意到节点a在本算法整个过程中是一直不变的，实际上它也可以在每个阶段(phase)进行任意选择。
分割线 end
然后是论文中的example部分：
分割线 begin
这是第一次MinimumCutPhase(G,w,a)操作前和操作后的样子，
在此次MinimumCutPhase(G,w,a)操作中，进入集合A的点的顺序为: 2 → 3 → 4 → 7 → 8 → 6 → 5(s) → 1(t) ；
显然，此次的阶段割cut-of-the-phase.weight = w(A,t) = edge<1,2>.w + edge<1,5>.w = 5 ；
之后的操作与此类似，不再赘述，可以自行对照论文中的FIG。
分割线 end
当然，上stoer和wagner两位巨老当初的论文，装逼成分多余实际效用= =，感觉自己翻译也翻译的像一坨shit一样；
更多细节更深理解还请看中文：http://files.cnblogs.com/files/dilthey/stoer-wagner%E7%AE%97%E6%B3%95.pdf
先上算法模板以及解释：
1 #include<cstring> 2 #define MAXN 505 3 #define INF 0x3f3f3f3f 4 int n,m;//n个点,m条边 5 int edge[MAXN][MAXN],dist[MAXN]; 6 bool vis[MAXN],bin[MAXN]; 7 void init() 8 { 9 memset(edge,0,sizeof(edge)); 10 memset(bin,0,sizeof(bin)); 11 } 12 int merge(int &s,int &t)//对应论文中的MinimumCutPhase() 13 { 14 memset(dist,0,sizeof(dist)); 15 memset(vis,0,sizeof(vis)); 16 int k,mincut,maxc; 17 for(int i=1;i<=n;i++) 18 { 19 k=-1, maxc=-1; 20 for(int j=1;j<=n;j++) if(!bin[j] && !vis[j] && dist[j] > maxc) {k=j;maxc=dist[j];} 21 //寻找"the most tightly connected vertex" 22 if(k == -1) return mincut; 23 vis[k]=true;//点k加入集合A 24 s=t; t=k;//不断移动s和t,保证他们是最后进入集合A的两个点 25 mincut=maxc;//不断更新mincut为w(A,t) 26 for(int j=1;j<=n;j++) if(!bin[j] && !vis[j]) dist[j]+=edge[k][j];//计算所有的w(A,y) 27 } 28 return mincut; 29 } 30 int stoer_wagner() 31 { 32 int mincut=INF,s,t,ans; 33 for(int i=1;i<=n-1;i++)//merge(s,t)一次减少一个点,|V|要从n减少到1,故要进行n-1次 34 { 35 ans=merge(s,t); 36 bin[t]=1;//把t合并到s中 37 if(ans<mincut) mincut=ans; 38 if(mincut==0) return 0; 39 for(int j=1;j<=n;j++) if(!bin[j]) edge[s][j]=(edge[j][s]+=edge[j][t]);//更新所有从s出发的边 40 } 41 return mincut; 42 }
时间复杂度O(n³)；
再说POJ2914，
题目链接：http://poj.org/problem?id=2914
有了模板之后，就是模板题；
当然，需要注意的是，这道题目里，n个点标号是0~n-1，用这个模板的话需要在输入的时候自己+1；
另外，这道题目的输入有重边，所以存边的时候，使用“+=”，而不是“=”；
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #define MAXN 505 4 #define MAXM MAXN*MAXN/2 5 #define INF 0x3f3f3f3f 6 using namespace std; 7 int n,m; 8 int edge[MAXN][MAXN],dist[MAXN]; 9 bool vis[MAXN],bin[MAXN]; 10 void init() 11 { 12 memset(edge,0,sizeof(edge)); 13 memset(bin,0,sizeof(bin)); 14 } 15 int merge(int &s,int &t) 16 { 17 memset(dist,0,sizeof(dist)); 18 memset(vis,0,sizeof(vis)); 19 int k,mincut,maxc; 20 for(int i=1;i<=n;i++) 21 { 22 k=-1, maxc=-1; 23 for(int j=1;j<=n;j++) if(!bin[j] && !vis[j] && dist[j] > maxc) {k=j;maxc=dist[j];} 24 if(k == -1) return mincut; 25 vis[k]=true; 26 s=t; t=k; 27 mincut=maxc; 28 for(int j=1;j<=n;j++) if(!bin[j] && !vis[j]) dist[j]+=edge[k][j]; 29 } 30 return mincut; 31 } 32 int stoer_wagner() 33 { 34 int mincut=INF,s,t,ans; 35 for(int i=1;i<=n-1;i++) 36 { 37 ans=merge(s,t); 38 bin[t]=1; 39 if(ans<mincut) mincut=ans; 40 if(mincut==0) return 0; 41 for(int j=1;j<=n;j++) if(!bin[j]) edge[s][j]=(edge[j][s]+=edge[j][t]); 42 } 43 return mincut; 44 } 45 int main() 46 { 47 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) 48 { 49 init(); 50 for(int i=1;i<=m;i++) 51 { 52 int a,b,c; 53 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 54 edge[a+1][b+1]+=c; 55 edge[b+1][a+1]+=c; 56 } 57 printf("%d\\n",stoer_wagner()); 58 } 59 }
以上是关于stoer-wagner算法小记的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章