数学的奇妙世界（１）－　引言和线性代数

Posted 2020-10-03 技术笔记

0. 背景

在这个学校里面遇到了本科是学习统计学的小猪，给我打开了数学的大门，前段时间想着自己机器学习和视觉上一直跌跌撞撞，除了因为去年闹眼病搞得今年有空就睡觉外，还有一点就是自己不想看到数学，前几天自己在京东趁着打折给自己买了一本《陶哲轩教你聪明解数学》，看完前言和第一章仿佛开了天眼， 15 岁天才对于数学的理解可以给我这个 15*2 的学沫启蒙，顺便前言中提到了《如何解题》，让我对另一本早已买来的懵懵懂懂的书籍有了新的认识。

跟着陶哲轩老师的思路自己“在老师后面”看着老师解决一道三角形的题目，大呼过瘾，把给自己提示的地方自己又读了一遍，然后记了笔记，美滋滋。

 

今天自己无意间想到了一套线性代数的视频，自己认真看了前面６、 7集，简直是给自己打通任督二脉用的一样，后来看了一下午太累了，后面就无法集中精力了。照例拿出小本本一边消化一边记在小本本上，还拿出了《线性代数就应该这样学》和书上对照，发现这书写得也难懂，再翻出来考研时候同济版《线性代数》，简直泪奔，书上的笔记清晰地显示那时我是一边预习一边看不懂，一边背一边理解一边刷题（貌似高数一自己写了不止一个笔记本的题目）。现在就写一下最最给自己启发的东东。

 

这篇文章揭示了很多矩阵运算的集合解释，高中的时候有种 解题方法叫数形结合，现在揭示矩阵操作的几何意义有利于值观地看懂问题的数学描述和发现问题的解。

 

1.收货

前提： 

              a       b

A  =   [                  ]  为二阶矩阵，i，j 分别为 第1列，第2列的元素，向量 a 是有方向和长度的量，用 ( x , y ) 表示，通常会在

              c       d

平面坐标系由原点到 点（ x , y ) 画条线来表示 ，但是通常可以用 点 (x , y ) 来表示向量。

 

(0)  左乘 : 左乘A 的几何意义就是 a 进行线性变换，使得 (x , y) 发生变化。连续左乘矩阵，叫复交变换，就是连续对向量进行线性变换。（依旧用点来表示变化后的向量。用点来表示向量，经常在数据挖掘、机器学习上的书籍看到，以后看到点能够和文中提到         的向量联系在一起了。）

(1)   基底，线性无关的两个向量，在二维平面中用这两个向量能表示出平面上所有向量。 线性无关可以理解为，这两个向量夹角不能 等于 108^o 或者是0^o ，本示例中假设基底是方向分别为 x 轴，y 轴 上长度为单位1的向量。向量 a 左乘矩阵 A 后得到新的向              量，那么原来的基底经过线性变化的坐标有什么规律呢？答案就在 矩阵A 中，原来x 轴上的基底变为了 （a , c )，原来y 轴的基底现在的坐标是 （ b , d)，有了基底的变化，那么就可以知道位于这个平面的其它向量的变化。

(2)   行列式的值：经过线性变换会得到基底的新坐标，原来基底构成的图形是边长为 1 的正方形，面积为 1. 行列式 A 的数值的 涵义是： 经过线性变换后新的基底的相对于原来基底构成图形的面积的倍数。

(3)   A 的秩 ： 在求解线性方程组中，可以理解为 求解 向量，该向量经过 线性变换 得到了新的已知向量。 A 的秩就是 A 在对 向量进行变化的时候的最大维数，秩为 1 , A 是一条直线，与之左乘的向量所进行的变换就是沿着直线伸长、缩短 改变方向；秩为 2，A 是一个平面，与之左乘向量在上面平移，秩为 3 ，假设A为 3 * 3 向量的话，那么 向量 a 的线性变换则是在空间移动。