矩阵乘法

Posted 2020-10-03 yiyiyizqy

矩阵乘法

矩阵的定义：

         

　　如图，三个都为矩阵。

    矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义[1]  。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。

矩阵乘法的基本运算：

      

     矩阵乘法满足结合律但不满足交换律！！！

快速幂：

    快速幂即求一个数的x^y次方，那么就把y一直除以2，当y==1时，return  x。如果y是偶数时便直接把得到的结果相乘，否则把得到结果相乘之余还要再加一个x。

 

 

矩阵乘法的应用 poj 3070：

Fibonacc

Description

In the Fibonacci integer sequence, F₀ = 0, F₁ = 1, and F_n = F_{n − 1} + F_{n − 2} for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

An alternative formula for the Fibonacci sequence is

Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of F_n.

Input

The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.

Output

For each test case, print the last four digits of F_n. If the last four digits of F_n are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print F_n mod 10000).

Sample Input

0

9

999999999

1000000000

-1

Sample Output

0

34

626

6875

Hint

As a reminder, matrix multiplication is associative, and the product of two 2 × 2 matrices is given by

Also, note that raising any 2 × 2 matrix to the 0th power gives the identity matrix:

　　其实就是斐波那契数，但唯一不同的是，数据量增加到10⁹，所以就不是普通的斐波那契数了。

　　当我们观察斐波那契数列时

　　0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89……

　　假设把1 2看作一个矩阵，那要怎样才能得到2 3呢？假设a=1，b=2。我们发现，得到后面的2 3，newa=b，而newb=a+b。说明a和b对newb是有贡献的，那么，要怎样才能使【1 2】矩阵对【2 3】矩阵有所贡献，应该乘一个什么样的矩阵呢。

　　可以得出，需要这样的一个矩阵

　　　　0 1

　　　　1 1      a[0][0]=0 a[0][1]=1 a[1][0]=1 a[1][1]=1

 　　因为a是对newa没有贡献的，所以第0行第0列为0，b有贡献，所以第1行第0列为1。而a与b同时对newb有贡献，所以第一列都为1。

　　同样的，只要一直乘这个矩阵，便可以得出所有的f[i]。

　　而求出目标值，则用到上面提到的快速幂，同理可得。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int mod=10000;
int n;
struct qy
{
	int a[2][2];
};

qy juzhen(qy x,qy y)//矩阵乘法
{
	qy nans;
	
	nans.a[0][0]= nans.a[0][1]= nans.a[1][1]= nans.a[1][0]=0;
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		{
			for(int k=0;k<2;k++)
			{
				nans.a[i][j]=(nans.a[i][j]+ x.a[i][k] * y.a[k][j]%mod)%mod;
			}
		//	cout<<nans.a[i][j]<<" ";
		}
	}
	
	return nans;
}

qy run(int y)//快速幂
{
	qy now;
	now.a[0][0]=0,now.a[0][1]=1,now.a[1][0]=1,now.a[1][1]=1;
	
	if(y==1) 
		return now;
	
	if(y==2)
		return juzhen(now,now);

	qy news,news2;
	news=run(y/2);
	news2=juzhen(news,news);
	
	if(y%2==1) 
		return juzhen( news2 ,now );
	else 
		return news2;
	
}
int main()
{
	while(1)
	{
		cin>>n;
		if(n==-1) break;
		
		if(n==0) cout<<0<<endl;
		
		else if(n==1||n==2) cout<<1<<endl;
		
		else if(n==3) cout<<2<<endl;	
		else
		{
			int times=n-3;
			
			qy wyy,ans;	
					
			wyy.a[0][0]=1, wyy.a[0][1]=2, wyy.a[1][1]=0, wyy.a[1][0]=0;
			
			ans=juzhen( wyy,run(times) );	//注意矩阵不满足交换律 
			
			cout<<ans.a[0][1]<<endl;
		}
	
	}
	return 0;
}