扩展欧几里德

Posted 2020-06-28 sweatOtt

　　　　证明略。在此只要求指导exgcd，并且会使用。

　　　　欧几里德算法:现在有a=xb+y，其中a,b,x,y为整数，那么可以得到:gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

　代码实现:

int gcd(int a,int b)
{
    return b > 0 ? gcd(b,a%b):a;
}

　　

　　扩展欧几里德算法: 对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在无数组整

数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

　　证明:

　　

　　　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

 

　　　　2，a>b>0 时

　　设 ax1+ by1= gcd(a,b);  bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b); 

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

　　即:ax1+ by1= bx2+ (a - (a / b) * b)y2=ay2+ bx2- (a / b) * by2;

　　也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- (a / b) *y2);

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- (a / b) *y2;

　　这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

 

　代码实现:

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

　　　　

　　应用: 求解不定方程a*x + b*y = c;

 

　　返回的r值就是gcd(a,b)。x,y的值就是方程a*x+b*y = gcd(a,b)的一组解。那么对于要求的方程,x * = c/gcd(a,b); y *= c/gcd(a,b) 现在x，y就是要求的方程的一组解。

方程的所有解:

　　p = x + b/gcd(a,b) * t;

　　q = y + a/gcd(a,b) * t; (t为整数)。