四边形不等式优化dp

Posted 2020-10-03 WeiAR

对四边形不等式优化dp的理解

四边形不等式适用于优化最小代价子母树问题，即f[i][j]=max/min(f[i][k-1]+f[k][j])+w[i][j],类似枚举中间点的dp问题，典型例题石子归并;

如果w函数满足区间包含的单调性和四边形不等式，那么函数f也满足四边形不等式，如果f满足四边形不等式，s[i][j]=max/min{t|f[i][j]=f[i][k-1]+f[k][j]}+w[i][j],也就是s[i][j]是f[i][j]取得最优解的中间点，s[i][j]具有单调性;

即s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j],所以k从[s[i][j-1],s[i+1][j]]枚举就好了，缩小了范围，将复杂度由O(n^3)降到了O(n^2)。

附石子规并四边形不等式优化标程：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define len 3010
#define inf 99999999
using namespace std;
int n,a[len],f[len][len],sum[len],s[len][len];

void in(int &x)
{
    char c=getchar();x=0;
    while(c<‘0‘||c>‘9‘)c=getchar();
    while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘)x=x*10+c-‘0‘,c=getchar();
}

int main()
{
  in(n);
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
      in(a[i]);
      sum[i]=sum[i-1]+a[i];
      s[i][i]=i;
  }
  for(int le=1;le<n;le++)
    for(int l=1;l<=n-le;l++)
      {
          int r=l+le;
          f[l][r]=inf;
            for(int k=s[l][r-1];k<=s[l+1][r];k++)
              if(f[l][r]>f[l][k]+f[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1])
          {
              f[l][r]=f[l][k]+f[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1];
              s[l][r]=k;
        }
      }
    cout<<f[1][n];  
  return 0;
}