Manacher算法

Posted 2020-10-03 ~Lanly~

求回文字符串最朴素的算法就是我们枚举一个中心点，然后看看该点能够向左向右延伸多远，这样的复杂度是O(n²）

当n很大的时候，我们是无法接受的。我们必须得去优化一下算法.

如何去优化呢？

对于每一个点，我们都是以半径为0开始不断比较。

这似乎显得我们之前已经处理的信息除了记录之外没有别的用途。

能优化是因为我们还没充分地应用之前的信息。

包括求后缀数组等等，我们都是充分应用了之前的信息从而达到了高效。

考虑到这个是回文串，我们可以假设，当前已经找到一个回文字符串，它的中心是id，半径（即回文长度的一半）是r，延伸到最右边的mx=id+i，那么区间$\\left[ id-r,id+r\\right]$都是对称的

那么我们考察一个在这个区间的一个点 i，很显然，i 以前的点的信息我们已经算出来了，因为当前最长的回文串中心id，半径r，根据对称性，以2*id-i的点（即i关于id的对称点）为中心的回文串在区间$\\left[ id-r,id+r\\right]$内一定会与i点相同，即以 i为中心的回文串的半径至少为$\\min \\left( mx-i,len[2\\ast P-i\\right])$(我们已知的信息只有区间$\\left[ p-r,p+r\\right]$是回文串，j与i关于id对称，在区间$\\left[ p-r,p+r\\right]$内，它们的字母是关于id对称的，而以j的点为中心的回文串的最左端可能超出了my，而mx的右边并不和my的左边一样（若一样，则mx可以比当前位置更右边），但可能和i左边的mx-i的是一样的，这个我们需要单独去比较了。因此以i为中心的回文串的半径不能超过mx-i。len[i]数组记录的是以i点为中心的回文串半径），至于超过这个区间的我们只能一一去比较了。如果该回文串延伸到的最右边比之前的mx大，我们就更新id和r就可以了。复杂度为O(n).

 

由于回文串长度有分奇数和偶数情况，为了更好地实现，我们在每个字符旁边加上一个不会出现的特殊符号（如”#“）同时在边缘上再加上另一个符号防止越界，这样下来求得的回文串长度就是奇数了。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #define N 100000
 5 using namespace std;
 6 int n,m,len[N],l,ans;
 7 string tmp;
 8 char qwq[N];
 9 void insert(){
10     l=0;
11     qwq[0]=\'%\';
12     for (int i=0;i<tmp.size();i++){
13         qwq[++l]=\'#\';
14         qwq[++l]=tmp[i];
15     }
16     qwq[++l]=\'#\';
17     qwq[l+1]=\'@\';   //防止越界
18 }
19 int manacher(){
20     ans=0;
21     int mx=0,p=0;
22     for (int i=1;i<=l;i++){
23         if (mx>i) len[i]=min(mx-i,len[2*p-i]);
24         else len[i]=1;
25     while (qwq[i+len[i]]==qwq[i-len[i]]) len[i]++;
26     if (i+len[i]>mx){    //更新p和mx
27         mx=i+len[i];
28         p=i;
29     }
30     ans=max(ans,len[i]);
31     }
32     return ans-1;   //减去中间那个字符
33 }
34 int main(){
35     cin>>tmp;
36     insert();
37     printf("%d\\n",manacher());
38     for (int i=1;i<=l;++i) cout<<len[i]<<\' \';
39     return 0;
40 }

Manacher