组合数+Lucas定理2017多校训练七 HDU 6129 Just do it

Posted 2020-10-03 shulin~

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6129

【题意】

• 对于一个长度为n的序列a，我们可以计算b[i]=a1^a2^......^ai，这样得到序列b
• 重复这样的操作m次，每次都是从上次求出的序列a得到一个新序列b
• 给定初始的序列，求重复m次操作后得到的序列

【思路】

假定n=5,我们模拟一次可以发现，经过m次操作后a1在b1......bn中出现的次数为：

m=0: 1 0 0 0 0

m=2: 1 2 3 4 5

m=3: 1 3 6 10 15

m=4:1 4 10 20 35

m=5:1 5 15 35 70

（画个杨辉三角出来就可以看出这些都是组合数）

容易推出来操作m次后，a1在答案bi中出现的次数C(m+i-2,m-1),由于是异或，我们只需知道C(m+i-2,m-1)%2

根据Lucas定理（2是素数），x=m-1,y=m+i-2,C(x,y)%2为x和y写成二进制后每一位C(xi,yi)%2的连乘，可以发现，只有C(0,1)是0，也就是C(x,y)%2==0  <=> y的二进制位置为1的集合是x的子集 <=> (x&y)==y

这道题m=1的时候是n^2的，然而这个复杂度是可以过的（奇怪）

附上AC代码

【AC】

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int maxn=2e5+2;
 5 ll a[maxn];
 6 ll b[maxn];
 7 int n;
 8 ll m;
 9 int main()
10 {
11     int T;
12     scanf("%d",&T);
13     while(T--)
14     {
15         memset(b,0,sizeof(b));
16         scanf("%d%I64d",&n,&m);
17         for(int i=1;i<=n;i++)
18         {
19             scanf("%I64d",&a[i]);
20         }
21         for(int i=1;i<=n;i++)
22         {
23             ll y=m-1;
24             ll x=m+i-2;
25             if((x&y)==y)
26             {
27                 for(int j=i;j<=n;j++)
28                 {
29                     b[j]^=a[j-i+1];
30                 }
31             }
32         }
33         for(int i=1;i<=n;i++)
34         {
35             if(i==1) printf("%I64d",b[i]);
36             else printf(" %I64d",b[i]);
37         }
38         puts("");
39     }
40     return 0;
41 }

View Code

【经验】

把a,b二进制表达后b中1的位置是a中1的位置的子集

<=> (a&b)==b