hdu-1024 Max Sum Plus Plus

Posted 2020-10-03 euzmin

Now I think you have got an AC in Ignatius.L‘s "Max Sum" problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem. 

Given a consecutive number sequence S ₁, S ₂, S ₃, S ₄ ... S _x, ... S _n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S_x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S _i + ... + S _j (1 ≤ i ≤ j ≤ n). 

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i ₁, j ₁) + sum(i₂, j ₂) + sum(i ₃, j ₃) + ... + sum(i _m, j _m) maximal (i _x ≤ i _y ≤ j _x or i _x ≤ j _y ≤ j _x is not allowed). 

But I`m lazy, I don‘t want to write a special-judge module, so you don‘t have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i _x, j _x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^ 

InputEach test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S ₁, S ₂, S ₃ ... S _n. 
Process to the end of file. 
OutputOutput the maximal summation described above in one line. 

 

1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3

Sample Output

6
8


        
 

Hint

Huge input, scanf and dynamic programming is recommended.

这题好难啊，看了很久题解才看明白。 

题意：给定n个数，从中选m串不重合的子串，求m串最大的子串和。

解题思路：将问题分解为子问题，可从两个角度出发： 
从m的角度来看，当m等于1的时候，其实就是求最大连续子串和的题。 
从n的角度来看，每个数字无非就两种状态， 一是在上个串；二是新串的起始。
这样思路就出来了： 
首先建立个dp[m][n]的数组。 
假设m=1时，我们遍历这n个数，每个数用dp数组记录： 
dp[1][i]=max(dp[1][i-1]+nu[i],0+nu[i])=max(dp[1][i-1],0)+nu[i]; 
这样m=1时所有数的状态就出来了。 
那么当m=2呢，无非在m=1的基础上，看从哪里截取，好让最后的两个串和最大。
但这里又牵扯到一点，我们依然从上面两个角度出发： 
从m的角度来看，m=2时，要截取两个串。两个串的位置是不定的，只要不重合就行，也就是说，
如果要建第二个串，第一个串后面任何一个数都可以作为新串的开始，那该怎么确定呢？ 这就
要从n的角度来看，每个数两种状态，一是在上个串，二是新串的开始，如果这个数作为新串，
那它的上个串一定是这个数前面所有数中dp[1][2]最大的，如果不作为新串，还要加这个数的
话，就是直接dp[1][i]+nu[i]; 
m=3……n，以此类推，可得最后的状态转移方程是: 
dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+nu[i]，max(dp[0][j-1]~dp[i-1][j-1])+nu[i]); 
但因为这题又卡内存，所以用这个二维数组过不了。又因为其实每一层的数只和该数前面的上一
层的最大值有关，即只和max(dp[0][j-1]~dp[i-1][j-1])有关，所以用个记录最大值的数
组mx[n]代替二维数组就行了。 
即最终的转移方程为：d[j]=max(d[j-1],pre[j-1])+num[j]; 附ac代码：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int M = 1111111;
 6 const int inf = 0x3f3f3f3f;
 7 int nu[M],dp[M],mx[M];
 8 int main(){
 9     int n,m,maxx;
10     while(~scanf("%d %d",&m,&n)){
11         memset(dp,0,sizeof(dp));
12         memset(mx,0,sizeof(mx));
13         for(int i=1;i<=n;i++){
14             scanf("%d",&nu[i]);
15         }
16         for(int i=1;i<=m;i++){
17             maxx=-inf;
18             for(int j=i;j<=n;j++){
19                 dp[j]=max(dp[j-1]+nu[j],mx[j-1]+nu[j]);
20                 mx[j-1]=maxx;
21                 maxx=max(maxx,dp[j]);
22             }
23         }
24         printf("%d\n",maxx);
25     }
26     return 0;
27 }

View Code