CodeFroce Round 340 div2 E XOR and Favorite Number莫队算法

Posted 2020-10-03

题面：

Bob has a favorite number k and ai of length n. Now he asks you to answer m queries. Each query is given by a pair li and ri and asks you to count the number of pairs of integers i and j, such that l?≤?i?≤?j?≤?r and the xor of the numbers ai,?ai?+?1,?…,?aj is equal to k.

Input 
The first line of the input contains integers n, m and k (1?≤?n,?m?≤?100?000, 0?≤?k?≤?1?000?000) — the length of the array, the number of queries and Bob’s favorite number respectively.

The second line contains n integers ai (0?≤?ai?≤?1?000?000) — Bob’s array.

Then m lines follow. The i-th line contains integers li and ri (1?≤?li?≤?ri?≤?n) — the parameters of the i-th query.

Output 
Print m lines, answer the queries in the order they appear in the input.

Examples 
input 
6 2 3 
1 2 1 1 0 3 
1 6 
3 5 
output 
7 
0 
input 
5 3 1 
1 1 1 1 1 
1 5 
2 4 
1 3 
output 
9 
4 
4 
Note 
In the first sample the suitable pairs of i and j for the first query are: (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (3, 6), (5, 6), (6, 6). Not a single of these pairs is suitable for the second query.

In the second sample xor equals 1 for all subarrays of an odd length.

大致思路：

对于数组中的每一个数求前缀和，公式为： 
pref[i]=pref[i-1]^a[i]

然后根据异或的性质可以知道： 
a[i] ^ a[i+1]^…..^a[j]=pref[j]-pref[i-1]

还有一个公式：

a^b=k 可以推出： a^k=b 
这样就可以利用莫队算法了来解决这道题了。 
首先需要开一个大小为2^20的桶（虽然题上说数据只到1e6，但异或之后的值是有可能比1e6大的，那就干脆开大一点） 
然后bow[i]的意思是异或值为i的数在区间内出现了几次。这样修改区间的时候就可以利用这个桶对答案进行修改。具体见代码。

然后是关于莫队算法说一些自己的理解

莫队算法的核心是分块+提前知道询问区间。 
也就是这些询问操作都是离线的，中间不能对区间有修改。然后就是根据块将询问排序，然后就暴力开始让L和R变化到询问区间，这样使得减少L，R的无效操作从而加快查询效率。

代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int maxn=1<<20;
 5 struct node{
 6     int l,r,id;
 7 }query[maxn];//储存询问的结构体数组
 8 ll a[maxn],ans[maxn],Ans=0;
 9 int bow[maxn],size,pos[maxn],k;
10 bool cmp(node a,node b)//根据分块进行排序
11 {
12     if(pos[a.l]==pos[b.l])
13         return a.r<b.r;
14     return pos[a.l]<pos[b.l];
15 }
16 void add(int x)
17 {
18     Ans+=bow[a[x]^k];//利用公式可以得到在x为结束点，异或值为k的对数
19     bow[a[x]]++;
20 }
21 void del(int x)
22 {
23     bow[a[x]]--;
24     Ans-=bow[a[x]^k];
25 }
26 int main()
27 {
28     ios::sync_with_stdio(false);
29     int n,m;
30     cin>>n>>m>>k;
31     size=sqrt(n);
32     for(int i=1;i<=n;++i){
33         cin>>a[i];
34         a[i]=a[i]^a[i-1];
35         pos[i]=i/size;//分块
36     }
37     for(int i=1;i<=m;++i){
38         cin>>query[i].l>>query[i].r;
39         query[i].id=i;
40     }
41     bow[0]=1;
42     sort(query+1,query+m+1,cmp);
43     int L=1,R=0;
44     for(int i=1;i<=m;++i){
45         while(L<query[i].l)//调整区间
46         {
47             del(L-1);//这里的顺序是根据第二个公式得到
48             ++L;
49         }
50         while(L>query[i].l)
51         {
52             --L;
53             add(L-1);
54         }
55         while(R<query[i].r)
56         {
57             ++R;
58             add(R);
59         }
60         while(R>query[i].r)
61         {
62             del(R);
63             --R;
64         }
65         ans[query[i].id]=Ans;
66     }
67     for(int i=1;i<=m;++i)
68         cout<<ans[i]<<endl;
69     return 0;
70 }