二次剩余

Posted 2020-10-03 莫兹ACM

今天要讨论的问题是解方程，其中是奇质数。

 

引理：

 

证明：由费马小定理，

 

引理：方程有解当且仅当

 

定理：设满足不是模的二次剩余，即无解，那么是二次

     剩余方程的解。

 

证明：由，前面的等号用二项式定理和，后面的等

     号用了费马小定理和是模的二次非剩余。然后

 

      

 

在算法实现的时候，对的选择可以随机，因为大约有一半数是模的二次非剩余，然后快速幂即可。

 

接下来我们来解另一个二次同余方程的解，其中，并且是奇质数。方法如下

 

先求出方程的一个解，那么进一步有

 

      

 

我们知道

 

      

 

那么也就是说

 

       

 

可以证明和，那么最终得到

 

       

 

这里由于不是素数，所以求逆元用扩展欧几里得算法即可。

 

 

例如：求方程的解

 

分析：利用上述方法求得，最终解得。