SDOI 2010--古代猪文(Lucas算法&费马小定理&中国剩余定理)

Posted 2020-10-03

        发现几乎每次数论题洛谷总是让我TLE一个点。。。。

附图：

        

 

最后那个点优化了很久终于过了。。。。

       

题意

        iPig在大肥猪学校图书馆中查阅资料，得知远古时期猪文文字总个数为N。当然，一种语言如果字数很多，字典也相应会很大。当时的猪王国国王考虑到如果修一本字典，规模有可能远远超过康熙字典，花费的猪力、物力将难以估量。故考虑再三没有进行这一项劳猪伤财之举。当然，猪王国的文字后来随着历史变迁逐渐进行了简化，去掉了一些不常用的字。

        iPig打算研究古时某个朝代的猪文文字。根据相关文献记载，那个朝代流传的猪文文字恰好为远古时期的k分之一，其中k是N的一个正约数（可以是1和N）。不过具体是哪k分之一，以及k是多少，由于历史过于久远，已经无从考证了。iPig觉得只要符合文献，每一种能整除N的k都是有可能的。他打算考虑到所有可能的k。显然当k等于某个定值时，该朝的猪文文字个数为N / k。然而从N个文字中保留下N / k个的情况也是相当多的。iPig预计，如果所有可能的k的所有情况数加起来为P的话，那么他研究古代文字的代价将会是G的P次方。

       现在他想知道猪王国研究古代文字的代价是多少。由于iPig觉得这个数字可能是天文数字，所以你只需要告诉他答案除以999911659的余数就可以了。

       输入格式：

              输入文件有且仅有一行：两个数N、G，用一个空格分开。

       输出格式：

              输出文件有且仅有一行：一个数，表示答案除以999911659的余数。

Solution

         经过几天的数论的专题练习，我很快看出这道题要求的式子：

                                                                       ans=（G^{ΣC(k,n) (k是n的因数)}）%999911659；

         可以用费马小定理简化：

                                                                       ans=（G^{ΣC(k,n) (k是n的因数)%999911658}）%999911659；

       因为999911658不是质数，不能直接用Lucas算法，所以分解质因数999911658=2*3*4679*35617；

         分别用Lucas算法再用中国剩余定理合并。。。。

         过程就不多讲了，之前的帖子里都说过。。。

         于是就在BZOJ上通过了。。。

代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cmath>
#define LL long long
#define mod 999911659
#define mod2 999911658
using namespace std;
map<LL，LL> mp;
LL ny[5],a[5];
LL jc[5][20010];
LL pow(LL a,LL b,LL p){
    LL s=1;
    while(b){
        if(b&1)
            s=s*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return s;
}
LL C(LL a,LL b,LL p){
    if(b>a) return 0;
    if(b*2>a) b=a-b;
    LL s=1;
    for(int i=1;i<=b;i++){
        LL u=(a+i-b)%p;
        s=s*u%p*jc[mp[p]][i]%p;
    }
    return s;
}
LL Lucas(LL a,LL b,LL p){
    if(b==0) return 1;
    return C(a%p,b%p,p)*Lucas(a/p,b/p,p)%p;
}
int main(){
    LL n,g,ans=0;
    ny[1]=1;ny[2]=1;ny[3]=1353;ny[4]=31254;
    a[1]=2;a[2]=3;a[3]=4679;a[4]=35617;
    mp[2]=1;mp[3]=2;mp[4679]=3;mp[35617]=4;
    for(int i=1;i<=4;i++) jc[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=4;i++){
        for(int j=1;j<=20000;j++)
            jc[i][j]=pow(j,a[i]-2,a[i]);
    }
    scanf("%lld%lld",&n,&g);
    if(g%mod==0) {
        printf("0\\n");
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=sqrt(n);i++)
        if(n%i==0){
            if(i*i==n) 
                for(int j=1;j<=4;j++){
                    LL s=ny[j]*Lucas(n,i,a[j]);
                    for(int k=1;k<=4;k++)
                        if(k!=j) s=s*a[k]%mod2;
                    ans=(ans+s)%mod2;
                }
            else
                for(int j=1;j<=4;j++){
                    LL s=ny[j]*Lucas(n,i,a[j]);
                    LL s2=ny[j]*Lucas(n,n/i,a[j]);
                    for(int k=1;k<=4;k++)
                        if(k!=j){
                            s=s*a[k]%mod2;
                            s2=s2*a[k]%mod2;
                        }
                    ans=(ans+s+s2)%mod2;
                }
        }
    ans=pow(g,ans,mod);
    printf("%lld\\n",ans);
    return 0;
}

       

        然而这在洛谷上就会像之前图片上一样，会T掉一个点。。。。

        发现组合数的函数经常调用，里面还有for循环很耗时。。。

        于是稍作优化(woc搞了一上午好吧。。。)

        至于是怎么优化的也自己看吧。。。现在很心累。。。

前后对比图：

       

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cmath>
#define LL long long
#define mod 999911659
#define mod2 999911658
using namespace std;
map<LL，LL> mp;
LL ny[5],a[5],top;
LL jc[5][40010];

LL pow(LL a,LL b,LL p){
    LL s=1;
    while(b){
        if(b&1)
            s=s*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return s;
}
LL C(LL a,LL b,LL p) {
    if (a<b) return 0;
    return jc[mp[p]][a]*pow(jc[mp[p]][b]*jc[mp[p]][a-b],p-2,p)%p;
}
LL Lucas(LL a,LL b,LL p){
    if(!b) return 1;
    return C(a%p,b%p,p)*Lucas(a/p,b/p,p)%p;
}
int main(){
    LL n,g,ans=0;
    ny[1]=1;ny[2]=1;ny[3]=1353;ny[4]=31254;
    a[1]=2;a[2]=3;a[3]=4679;a[4]=35617;
    mp[2]=1;mp[3]=2;mp[4679]=3;mp[35617]=4;
    for (int i=1;i<=4;i++) {
        jc[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=a[i];j++)
            jc[i][j]=jc[i][j-1]*j%a[i];
    }
    scanf("%lld%lld",&n,&g);
    g=g%mod;
    if(!g) {
        printf("0\\n");
        return 0;
    }
    LL d=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=d;i++)
        if(n%i==0){
            if(i*i==n) 
                for(int j=1;j<=4;j++){
                    LL s=ny[j]*Lucas(n,i,a[j]);
                    s=mod2/a[j]*s%mod2;
                    ans=(ans+s)%mod2;
                }
            else
                for(int j=1;j<=4;j++){
                    LL s=ny[j]*Lucas(n,i,a[j]);
                    LL s2=ny[j]*Lucas(n,n/i,a[j]);
                    s=mod2/a[j]*(s+s2)%mod2;
                    ans=(ans+s)%mod2;
                }
        }
    ans=pow(g,ans,mod);
    printf("%lld\\n",ans);
    return 0;
}

       

This passage is made by Yukino.