POJ1151Atlantis 矩形面积并 扫描线 线段树

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题意概括

　　给出n个矩形，求他们的面积并。

　　n<=100

 

题解

　　数据范围极小。

　　我们分3种算法逐步优化。

 

　　算法1： O(n3)

　　如果这n个矩形的坐标都是整数，而且比较小，那么我们显然可以用最暴力的方法：一个一个打标记。

　　但是不是这样的。

　　坐标大小很大，而且是实数。

　　然而我们发现差不多，只要先离散化一下，然后再打标记即可。

 

　　算法2：O(n2)

　　实际上，上面的方法十分慢。如果n的范围到了1000，上面的就无济于事了。

　　而实际上，基于上面的打标记的算法，我们可以通过差分的方法n2解决。

　　我们通过差分，可以用n2的时间标记，n2的时间判断每一个区域是否被覆盖。

　　空间复杂度O(n2)

 

　　算法3：O(n logn) 扫描线

　　实际上，这类问题的数据范围可以到100000这个级别。

　　矩形面积并可以用扫描线算法来解决。先看原理，后面讲具体实现。

　　比如下图：

　　

　　当前我们的扫描线到达了淡黄色部分。

　　由于之前没有记录，所以答案不增加。

　　然而我们记下当前横向覆盖的长度。

　　然后我们到了第二条扫描线，加上原来记录的横向覆盖长度乘以增加的高度就是当前增加的答案。

　　然后，我们更新了横向覆盖的长度。

　　继续。

　　

　　然后第三条。现在的横向覆盖长度是两边加起来，所以增加的面积是两块了。

　　然后更新横向覆盖的长度，加上了中间的那一条。

　　然后继续。

　　

　　现在有这么长的一条都是被横向覆盖的了。

　　所以新增的面积是浅蓝色部分。

　　然后我们发现左上那条线是出边，所以要删除这一条线。

　　所以横向覆盖的长度为如下：

　　

　　同理，接下来是：

　　

　　然后就OK了。

　　

　　那么具体怎么实现呢？

　　我们开一棵线段树来维护！

　　在读入之后，我们把所有的横线都拆开，分成下边和上边两类。某一区间在进入下边的时候+1，离开上边的时候-1，所以我们分别给上下边标记+1和-1。

　　对于Y，我们离散化一下。

　　对于X，我们按照边的X排一个序。

　　然后按照刚才那样的处理。

　　具体如何维护详见代码。

 

代码

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=100+5,M=N*2;
const double Eps=1e-9;
int T=0,n,m,tot_Y,tot_s;
double Y[M];
struct Segment{
    double x,L,R;
    int v;
    void set(double x_,double L_,double R_,int v_){
        x=x_,L=L_,R=R_,v=v_;
    }
}s[M];
struct SegTree{
    int cnt;
    double sum;
}t[M*4];
bool cmp_s(Segment a,Segment b){
    return a.x<b.x;
}
void build(int rt,int le,int ri){
    t[rt].cnt=0;
    t[rt].sum=0;
    if (le==ri)
        return;
    int mid=(le+ri)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
    build(ls,le,mid);
    build(rs,mid+1,ri);
}
void pushup(int rt,int le,int ri){
    int ls=rt<<1,rs=ls|1;
    if (t[rt].cnt)
        t[rt].sum=Y[ri+1]-Y[le];
    else if (le==ri)
        t[rt].sum=0;
    else
        t[rt].sum=t[ls].sum+t[rs].sum;
}
void update(int rt,int le,int ri,int xle,int xri,int d){
    if (le>xri||ri<xle)
        return;
    if (xle<=le&&ri<=xri){
        t[rt].cnt+=d;
        pushup(rt,le,ri);
        return;
    }
    int mid=(le+ri)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
    update(ls,le,mid,xle,xri,d);
    update(rs,mid+1,ri,xle,xri,d);
    pushup(rt,le,ri);
}
int find_double(double x){
    int le=1,ri=m,mid;
    while (le<=ri){
        mid=(le+ri)>>1;
        if (abs(x-Y[mid])<Eps)
            return mid;
        if (Y[mid]<x)
            le=mid+1;
        else
            ri=mid-1;
    }
}
int main(){
    while (scanf("%d",&n)&&n){
        tot_Y=tot_s=0;
        for (int i=1;i<=n;i++){
            double xA,yA,xB,yB;
            scanf("%lf%lf%lf%lf",&xA,&yA,&xB,&yB);
            if (yB-yA<Eps||xB-xA<Eps)
                continue;
            Y[++tot_Y]=yA,Y[++tot_Y]=yB;
            s[++tot_s].set(xA,yA,yB,1);
            s[++tot_s].set(xB,yA,yB,-1);
        }
        sort(Y+1,Y+tot_Y+1);
        sort(s+1,s+tot_s+1,cmp_s);
        m=1;
        for (int i=2;i<=tot_Y;i++)
            if (Y[i]-Y[i-1]>Eps)
                Y[++m]=Y[i];
        build(1,1,m);
        double ans=0;
        for (int i=1;i<=tot_s;i++){
            ans=ans+(s[i].x-s[i-1].x)*t[1].sum;
            int L=find_double(s[i].L);
            int R=find_double(s[i].R);
            update(1,1,m,L,R-1,s[i].v);
        }
        printf("Test case #%d\\nTotal explored area: %.2lf\\n\\n",++T,ans);
    }
    return 0;
}

 

以上是关于POJ1151Atlantis 矩形面积并 扫描线 线段树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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