zoj——3557 How Many Sets II

Posted 2020-10-02

How Many Sets II

---

Time Limit: 2 Seconds      Memory Limit: 65536 KB

---

Given a set S = {1, 2, ..., n}, number m and p, your job is to count how many set T satisfies the following condition:

• T is a subset of S
• |T| = m
• T does not contain continuous numbers, that is to say x and x+1 can not both in T

 

Input

There are multiple cases, each contains 3 integers n ( 1 <= n <= 10⁹ ), m ( 0 <= m <= 10⁴, m <= n ) and p ( p is prime, 1 <= p <= 10⁹ ) in one line seperated by a single space, proceed to the end of file.

Output

Output the total number mod p.

Sample Input

5 1 11
5 2 11

Sample Output

5
6

题目大意：

给一个集合，一共n个元素，从中选取m个元素，满足选出的元素中没有相邻的元素，一共有多少种选法(结果对p取模1 <= p <= 10^9) 

思路：
好像是裸题、、、、

用插板法求出组合数。既然是从n个数中选择m个数，那么剩下的数为n-m，那么可以产生n-m+1个空，这道题就变成了把m个数插到这n-m+1个空中有多少种方法，即C(n-m+1,m)%p

但是求乘法逆元的已经行不通了，因为这里我们不确定他给出的p是否为素数，这样我们就只能用卢卡斯定理了
卢卡斯定理不会的转：http://www.cnblogs.com/L-Memory/p/7352397.html
不要预处理了，因为我们这里p不知道，而且如果要处理的话就要开10^9*long long空间。
代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;
ll t,n,m,p,ans;
ll read()
{
    ll x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll qpow(ll n,ll k,ll q)
{
    ll res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=res*n%p; 
        n=n*n%p; k>>=1;
    }return res;
}
ll c(ll n,ll m,ll p)
{
    ll n1=1,m1=1;
    if(m>n) return 0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
     m1=m1*i%p;
    for(int i=n-m+1;i<=n;i++)
     n1=n1*i%p;
    return n1*qpow(m1,p-2,p)%p; 
}
ll lus(ll n,ll m,ll p)
{
    if(m==0) return 1;
    return c(n%p,m%p,p)*lus(n/p,m/p,p)%p;
}
int main()
{
    while(scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p)!=EOF)
    {
        ans=lus(n-m+1,m,p);
        printf("%lld\\n",ans);
    }
    return 0;
}