[NOIP2009普及组]细胞分裂

Posted 2020-10-02 Mrsrz

题目：洛谷P1069、Vijos P1814、codevs1152。

题目大意：给你一个$m_1$和$m_2$，和n个数$s_i$，要你求这n个数中是否有一个数满足$s_i ^t \equiv 0(mod\ m_1^{m_2})$，如果有则输出最小的t，没有输出-1。

解题思路：由于$m_1^{m_2}$最大能达到$30000^{10000}$，直接判断显然是不可能的。

我们可以把$m_1$和$s_i$分解质因数，那么就有$s_i ^t =p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k},m_1=q_1^{b_1}q_2^{b_2}...q_k^{b_k}$。

进而可以得出：$s_i^t=p_1^{ta_1}p_2^{ta_2}...p_k^{ta_k},m_1^{m_2}=q_1^{m_2b_1}q_2^{m_2b_2}...q_k^{m_2b_k}$。

如果$s_i$的若干次方要是$m_1^{m_2}$的倍数，那么它本身必须含有$m_1$的所有质因子，如果满足这个条件，那么对于相同的质因子，$\lceil \frac{b_km_2}{a_k}\rceil$就是所需的次数。这些次数的最大值就是t的答案。最终答案就是所有t的最小值。

此题只要分解质因数的效率不低，就不会超时，我之前就是因为分解质因数效率太低而TLE。

C++ Code：

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
using namespace std;
struct prime{
    int cnt,pn[30001],s[30001];
}p,q;
inline int readint(){
    char c=getchar();
    while(!isdigit(c))c=getchar();
    int p=0;
    while(isdigit(c))p=(p<<3)+(p<<1)+(c^‘0‘),c=getchar();
    return p;
}
int n,m1,m2;
void fenjie(int t,prime& p){
    p.cnt=0;
    for(int i=2;i*i<=t;++i)
    if(!(t%i)){
        p.pn[++p.cnt]=i;
        p.s[p.cnt]=0;
        do{
            t/=i;
            ++p.s[p.cnt];
        }while(!(t%i));
    }
    if(t>1){
        p.pn[++p.cnt]=t;
        p.s[p.cnt]=1;
    }
}
int main(){
	n=readint(),m1=readint(),m2=readint();
    if(m1==1){
        puts("0");
        return 0;
    }
    fenjie(m1,p);
    int ans=-1,x;
    while(n--){
    	x=readint();
        fenjie(x,q);
        int mx=0,nxt=1;
        bool ok=false;
        if(q.cnt>=p.cnt)
        for(int i=1;i<=p.cnt;++i){
            while(q.pn[nxt]<p.pn[i]&&nxt<=q.cnt)++nxt;
            if(nxt>q.cnt||q.pn[nxt]>p.pn[i])break;
            int f=p.s[i]*m2/q.s[nxt];
            if(p.s[i]*m2%q.s[nxt])++f;
            if(mx<f)mx=f;
            ok=i==p.cnt;
        }
        if(ok&&(ans==-1||ans>mx))ans=mx;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}