矩阵快速幂数列

Posted 2020-10-02 wxjor

[NOIP模拟赛]数列

【题目描述】
　　a[1]=a[2]=a[3]=1
　　a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)
　　求a 数列的第n 项对1000000007（10^9+7）取余的值。

【输入格式】
　　第一行一个整数T，表示询问个数。
　　以下T 行，每行一个正整数n。

【输出格式】
　　每行输出一个非负整数表示答案。

【样例输入】
3
6
8
10

【样例输出】
4
9
19

【数据范围】
　　对于30%的数据 n<=100；
　　对于60%的数据 n<=2*10^7；
　　对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；

试题分析：60%直接递推就好

　　　　　至于100%的就用矩阵快速幂。

　　　　　0 1 0         　    1

　　　　　0 0 1 ^ (k-2) * 1

　　　　　1 0 1         　    1

 

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c==‘-‘) f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-‘0‘;
	return x*f;
}
#define LL long long
LL m1[7][7];
LL m2[7][7];
LL m3[7][7];
int N;
const int mod=1000000007;

void cheng(){
	for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j=1;j<=N;j++)
		    m2[i][j]=m3[i][j];
	}
	memset(m3,0,sizeof(m3));
	for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j=1;j<=N;j++){
			for(int k=1;k<=N;k++)
			    m3[i][j]+=m2[i][k]*m1[k][j]%mod,m3[i][j]%=mod;
		} 
	}
}
void cheng2(){
	for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j=1;j<=N;j++)
		    m2[i][j]=m1[i][j];
	}
	memset(m1,0,sizeof(m1));
	for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j=1;j<=N;j++){
			for(int k=1;k<=N;k++)
			    m1[i][j]+=m2[i][k]*m2[k][j]%mod,m1[i][j]%=mod;
		}
	}
}
void Pow(int b){
	while(b){
		if(b&1) cheng();
		b>>=1;
		cheng2();
	}
	return ; 
}
void chengk(){
	for(int a=1;a<=3;a++)
	    for(int b=1;b<=1;b++)
	        for(int c=1;c<=3;c++)
	            m1[a][b]+=m3[a][c]*m2[c][b]%mod,m1[a][b]%=mod;
	return; 
}
int main(){
	int T=read();
	while(T--){
		int k=read(); N=3;
		memset(m1,0,sizeof(m1));
		memset(m3,0,sizeof(m3));
		m1[1][2]=m3[1][2]=1;
		m1[2][3]=m3[2][3]=1;
		m1[3][1]=m3[3][1]=1;
		m1[3][3]=m3[3][3]=1;
		Pow(max(k-2,0));
		memset(m1,0,sizeof(m1));
		m2[1][1]=1,m2[2][1]=1,m2[3][1]=1;
		chengk();
		printf("%lld\n",m1[1][1]%mod); 
	}
}