[Poi2012]Festival

Posted 2020-10-02 Mafia

[Poi2012]Festival

题目

有n个正整数X1,X2,...,Xn，再给出m1+m2个限制条件，限制分为两类：

1. 给出a,b (1<=a,b<=n)，要求满足Xa + 1 = Xb

2. 给出c,d (1<=c,d<=n)，要求满足Xc <= Xd

在满足所有限制的条件下，求集合{Xi}大小的最大值。

INPUT

第一行三个正整数n, m1, m2 (2<=n<=600, 1<=m1+m2<=100,000)。

接下来m1行每行两个正整数a,b (1<=a,b<=n)，表示第一类限制。

接下来m2行每行两个正整数c,d (1<=c,d<=n)，表示第二类限制。

OUTPUT

一个正整数，表示集合{Xi}大小的最大值。

如果无解输出NIE。

SAMPLE

INPUT

4 2 2

1 2

3 4

1 4

3 1

OUTPUT

3

解题报告

显然是一道差分约束

首先，我们来分析一下两种限制条件：

第一种：

$$X_{a}+1=X_{b} \rightarrow X_{a}-X_{b}=-1\rightarrow X_{a}-X_{b}\geqslant -1(and)X_{a}-X_{b}\leqslant -1$$

而：

$$X_{a}-X_{b}\geqslant -1\rightarrow X_{b}-X_{a}\leqslant 1$$

也就是：

$$X_{a}-X_{b}\leqslant -1(and)X_{b}-X_{a}\leqslant 1$$

对于这种限制条件，我们需要从$X_{a}$向$X_{b}$建一条权值为$1$的边，向$X_{b}$向$X_{a}$建一条权值为$-1$的边。

想想为什么？

我们可以这样理解差分约束中两点的边：一条从$A\rightarrow B$，权值为$W$的边，代表$A$要加上$W$才能到$B$

这样就可以解释上面的建边原理了

第二种：

$$X_{c}\leqslant X_{d}\rightarrow X_{c}-X_{d}\leqslant 0$$

对于这种限制条件，我们需要从$X_{d}$向$X_{c}$建一条权值为$0$的边。

 

建完了图，我们首先要判断是否有解，也就是是否存在负环，我们可以这样做：

先将每个$dis[i][i]$赋值为$0$，然后$FLoyd$跑最短路，然后判断$dis[i][i]$（也就是自己到自己）是否为负

为什么这样做？

我们先想$Floyd$的原理，它是不断枚举两点之间的中间点进行松弛操作，对在点$i$和$j$之间的所有其他点进行一次松弛。那么，我们想，假如没有负环的话，$dis[i][i]$应当是$0$才对，但是，显然负权边的权值小于$0$，也就是说，在松弛的过程中，负权边会松弛$dis[i][i]$，假如形成了负环，那么，必然会有负环上的点的$dis[i][i]$被该负环松弛成了负值，所以这种做法是正确的

 

然后，我们就该处理答案了

我们先tarjan缩个点，找到一圈强连通分量，我们想，对于每一个强连通分量，把他们连起来的一定是$w=0$的边，假如是$1or-1$的边，那么，一定存在反向的$-1or1$的边将他们反向相连，使他们互相连通，那么，这两个强连通分量就成了一个强连通分量

我们想，我们建的边的权值只有$-1$，$0$，$1$三种，那么，由这三种边连起来的数一定是连续的数

也就是说，我们的强连通分量的最小值$min$到最大值$max$是连续的，且$min$一定是$0$

所以我们对于每一个强连通分量对答案的贡献就是：

$$max-min+1$$

想想为什么？

我们考虑一串连续的自然数，比如说$1$到$9$，我们有$9$个数，这$9$个数是如何得到的呢？

由等差数列求项数公式可以得到：

$$num=\frac{a_{n}-a_{1}}{d}+1$$

其中$num$为项数，$a_{n}$为末项，$a_{1}$为首项，$d$为公差。

 

然后，又因为$min$为0，所以每一个强连通分量对答案的贡献为：

$$max+1$$

对每一个强连通分量的贡献求和即为答案

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 inline int read(){
 6     int sum(0);
 7     char ch(getchar());
 8     for(;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=getchar());
 9     for(;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar());
10     return sum;
11 }
12 struct edge{
13     int e;
14     edge *n;
15     edge():e(0),n(NULL){}
16 }a[200005],*pre[605];
17 int tot;
18 inline void insert(int s,int e){
19     a[++tot].e=e;
20     a[tot].n=pre[s];
21     pre[s]=&a[tot];
22 }
23 int n,m1,m2;
24 int g[605][605];
25 inline bool fly(){
26     for(int i=1;i<=n;++i)
27         g[i][i]=0;
28     for(int k=1;k<=n;++k)
29         for(int i=1;i<=n;++i)
30             for(int j=1;j<=n;++j)
31                 if(g[i][k]+g[k][j]<g[i][j])
32                     g[i][j]=g[i][k]+g[k][j];
33     for(int i=1;i<=n;++i)
34         if(g[i][i]<0)
35             return false;
36     return true;
37 }
38 int dfn[605],low[605],sta[605],zhan[605];
39 int top,head;
40 bool vis[605];
41 int cnt;
42 int ans(0);
43 inline void tarjan(int u){
44     dfn[u]=low[u]=++cnt;
45     sta[++top]=u;
46     vis[u]=1;
47     for(edge *i=pre[u];i;i=i->n){
48         int e(i->e);
49         if(!dfn[e]){
50             tarjan(e);
51             low[u]=min(low[u],low[e]);
52         }
53         else
54             if(vis[e])
55                 low[u]=min(low[u],dfn[e]);
56     }
57     if(low[u]==dfn[u]){
58         head=0;
59         int tmp;
60         while(1){
61             zhan[++head]=tmp=sta[top--];
62             vis[tmp]=0;
63             if(tmp==u)
64                 break;
65         }
66         tmp=-0x7fffffff;
67         for(int i=1;i<=head;++i)
68             for(int j=1;j<=head;++j)
69                 tmp=max(tmp,g[zhan[i]][zhan[j]]);
70         ans+=tmp+1;
71     }
72 }
73 int main(){
74     memset(pre,NULL,sizeof(pre));
75     memset(g,0x3f,sizeof(g));
76     n=read(),m1=read(),m2=read();
77     for(int i=1;i<=m1;++i){
78         int x(read()),y(read());
79         insert(x,y),insert(y,x);
80         g[x][y]=min(g[x][y],1),g[y][x]=min(g[y][x],-1);
81     }
82     for(int i=1;i<=m2;++i){
83         int x(read()),y(read());
84         insert(y,x);
85         g[y][x]=min(g[y][x],0);
86     }
87     if(!fly()){
88         puts("NIE");
89         return 0;
90     }
91     for(int i=1;i<=n;++i)
92         if(!dfn[i])
93             tarjan(i);
94     printf("%d",ans);
95 }

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